奔驰定理与四心问题（原卷版）.pdf
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专题16奔驰定理与四心问题
【考点预测】
—.四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1.
2（）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任点到角两边的距离相等.
3（）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等.
4（）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.
二
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专题07三角形中的四心问题与奔驰定理的应用
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题型02外心 2
题型03内心 3
题型04垂心 4
题型05奔驰定理 6
题型01重心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的重心
1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）；
（2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重
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【新高考专用】
平面向量是高考的热点内容，而奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决
平面几何问，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问有着重要作用；四心问是平面向量中
的重要问，也是高考的重点、热点内容，在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用，对于四心问
要学会灵活求解.
►知识梳理
【知识点1奔驰定理】
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13
24
35
45
56
1
ìî
.
1
1
PABCAPBAPCBPC
.
ìî.
ìî.
2
1
(1)
①2:1.
ABCPABC.
A(x,y)B(x,y)C(x,y)ABC
112233
P.
(2)
①.
ABCPABC.
(3)
①.
ABCP
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(4)
①
.
ABCPABC.
2
(1)OABC.
(2)OABC.
(3)OABC.
(4)OABC
.
1
111
===
12024ABCP
333
△:△
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1-123-24△3+4+5=2+3
△
+=
△
2133
ABCD
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微拓展2奔驰定理和四心问题
［考情分析］奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形面积和“四心”相关
问题，有着决定性基石作用.在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到作用，技巧性较强.
一般难度较大.
考点一奔驰定理
奔驰定理:
如图，已知尸为△ABC内一点，贝IJ有SAPBC•刀+SAMC•而+SA?AB•丽=0.
例11（）2（024•焦作模拟）已知△ABC所在平面内一点。满足0+砺+:沆=0,则3c面积是4
A3。面积（）
A.5倍B.4倍
C.3倍D.2倍
答案A
解析因为瓦?+丽反=0,
即2DA+2DB+DC=0,
所以SABCD:SMCD:SAABD=2：
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奔驰定理与四心问题
知识归纳总结
知识一四心的概念
(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1；
(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等；
(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
知识二奔驰定理解决面积比例问题
奔驰定理：设O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记作SA，SB，SC，则SAeq\o\ac(\s\up7(→),OA)＋SBeq\o\ac(\s\up7(→),OB)＋SCeq\o\ac(
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题型12 5类平面向量解题技巧(“爪子定理”、系数和(等和线)、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题)(原卷版).docx
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题型125类平面向量解题技巧
（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、
奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）
技法
技法01“爪子定理”的应用及解题技巧
技法02系数和（等和线）的应用及解题技巧
技法03极化恒等式的应用及解题技巧
技法04奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧
技法05范围与最值的应用及解题技巧
技法01“爪子定理”的应用及解题技巧
“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握
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专题07三角形中的四心问题与奔驰定理的应用
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题型02外心 2
题型03内心 3
题型04垂心 4
题型05奔驰定理 6
题型01重心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的重心
1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）；
（2）在向量的坐标表示
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专题03 平面向量奔驰定理与三角形四心问题七种考法（原卷版）-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）_1.docx
专题03平面向量奔驰定理与三角形四心问题七种考法
一、方法讲解
1.奔驰定理：----解决面积比例问题
，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故．
2.三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
3.常见结论
（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．
为的内心．
（2）外心：为的外心．
（3）垂心：为的垂心．
（4）重心：为的重心．
4.三角形的四心与奔驰定理的关系
(1)O是△ABC的重心：.
(2)O是△ABC的垂心：.
(3)O是△ABC的内心：.
(4)O是△ABC的外心：
.
二、重难点例题及变式
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第37讲：三角形四心及奔驰定理（原卷版）-2025年高考数学必刷题5000题.pdf
37第讲三角形四心及奔驰定理
技巧一．四心的概念介绍：知识梳理
(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．
(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点．
已知△ABC的顶点A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则△ABC的重心坐标为G
x+x+xy+y+y112233
123123
(3，3)．
注意：(1)在△ABC中，若O为重心，则O
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专题07 三角形中的四心问题与奔驰定理的应用（5大题型）（解析版）.docx
专题07三角形中的四心问题与奔驰定理的应用
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TOC\o1-1\h\u题型01重心 1
题型02外心 4
题型03内心 9
题型04垂心 14
题型05奔驰定理 21
题型01重心
【解题规律·提分快招】
一、三角形的重心
1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）；
（2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形
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2025年高考数学重难点专项复习：奔驰定理与四心问题【五大题型】解析版.pdf
重难点10奔驰定理与四心问题【五大题型】
【新高考专用】
平面向量是高考的热点内容，而奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决
平面几何问，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问有着重要作用；四心问是平面向量中
的重要问，也是高考的重点、热点内容，在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用，对于四心问
要学会灵活求解.
►知识梳理
【知识点1奔驰定理】
1.奔驰定
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奔驰定理与四心问题-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）.pdf
重难点14奔驰定理与四心问题【五大题型】
【新高考专用】
►题型归纳
【题型1奔驰定理】3
【题型2重心问题】6
【题型3垂心问题】9
【题型4内心问题】12
【题型5外心问题】15
►命题规律
1、奔驰定理与四心问题
奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解平面几何问题，尤其是解跟三
角形的面积和
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2025年高考数学重难点复习特训：奔驰定理与四心问题【五大题型】学生版+解析.pdf
重难点14奔驰定理与四心问题【五大题型】
【新高考专用】
►题型归纳
【题型1奔驰定理】3
【题型2重心问题】4
【题型3垂心问题】5
【题型4内心问题】5
【题型5外心问题】6
►命题规律
1、奔驰定理与四心问题
奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解平面几何问题，尤其是解跟三
角形的