甘肃省永昌县第一中学高中数学 4.1.2 圆的一般方程学案 新人教A版必修2.doc

甘肃省永昌县第一中学高中数学 4.1.2 圆的一般方程学案 新人教A版必修2 学习目标： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件． (2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。 (3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 学习重点 圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F． 学习难点 对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教学设计 一、目标展示 二、自主学习 1．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F＞0 表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆 D2＋E2－4F＝0 表示一个点(－，－) D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 2．圆的一般方程 (1)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当 时，该方程叫做圆的一般方程． (2)圆的一般方程下的圆心和半径： 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)表示的圆的圆心为 ，半径长 3．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； (3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程． 4．轨迹方程 点M的轨迹方程是指点M的坐标(x，y)满足的关系式． 三、合作探究 1．圆的一般方程的结构有什么特征？ 2．圆的标准方程和一般方程如何相互转化？ 3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0具备什么条件才能表示圆？ 四、精讲点拨 [例1]　判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径： (1)x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ay－1＝0； (3)x2＋y2＋20x＋121＝0； (4)x2＋y2＋2ax＝0. ——————————————————————————————— 1．判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤： 先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与y2的系数相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数即可． 2．圆的标准方程指出了圆心坐标与半径的大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显． ————————————————————————————————————— 1．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径． [例2]　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程． ——————————————————————————————— 应用待定系数法求圆的方程应注意以下两点 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. ————————————————————————————————————— 2．求圆心在y＝－x上且过两点(2,0)(0，－4)的圆的一般方程，并把它化成标准方程． [例3]　已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半． (1)求动点M的轨迹方程； (2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹． ——————————————————————————————— 解决此类问题，常用的方法有：(1)直接法，(2)定义法，(3)代入法．其中直接法是求曲线方程最重要的方法，它可分五个步骤：①建系，②找出动点M满足的条件，③用坐标表示此条件，④化简，⑤验证；定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后据定义直接写出动点的轨迹方程；代入法，它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可． ————————————————————————————————————— 3．自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程． 已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，求a的取值范围． 五、达标检测 1．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　) A．R　　　　　　　　　 B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 2．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于