福建省漳州市芗城中学高中数学 2平面与平面垂直的判定与性质教案 新人教A版必修2.doc

福建省漳州市芗城中学高中数学 2平面与平面垂直的判定与性质教案 新人教A版必修2 授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ） 一、教学目标 1、知识与技能：（1）掌握平面与平面垂直的判定定理及性质定理； （2）能运用判定定理、性质定理解决一些简单问题； （3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。 2、过程与方法：从开放性的角度设计问题，引导学生建立新的认知结构，挖掘学生的创造潜能。 3、情感态度与价值观：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。 二、教学重点、难点：判定定理、性质定理的证明及其应用。 三、学法指导：直观感知、操作确认，猜想与证明。 四、教学过程 （一）由开放题设计知识的产生过程 问题导入：直线a和平面α，β有以下三种关系：①a⊥β，②aα，③α⊥β，如果任意取其中两个作为前提，另一个作为结论构造命题，能构成几个命题？如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举出一个反例，并补充条件使其成为真命题并加以证明。 学生画图形，搭模型——用课本、桌面作平面，铅笔作直线，能构成三个不同的命题： 。 其中（1）是真命题，（2），（3）均是假命题。 （二）用开放的思维探索命题的真假 1、证明命题（1）为真 分析：设α∩β = CD，欲证α⊥β，只须判断二面角α – CD – β为直二面角。为此，作OB⊥CD，得其二面角∠AOB（如图）。，从而证明了α⊥β。 归纳（两个平面垂直的判定定理）：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 符号语言：。 作用：由线面垂直得到面面垂直。 2、考察命题（2）的真假 由α⊥β，α内的直线a不一定能与β垂直（反例如图）。 问题：对于命题（2），能否在α⊥β，aα的条件下，再增加某些条件，使a⊥β的结论成立呢？ 引导学生分析，发现增加“a垂直于α与β的交线”的限制条件后，就能判定a⊥β。 证明：在β内引直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角α—CD—β的平面角。 由知AB⊥BE，又AB⊥CD，BE与CD是β内的两条相交直线，所以AB ⊥β。 归纳（两个平面垂直的性质定理）： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 符号语言：设，则有AB ⊥β。 作用：由面面垂直得到线面垂直。 3、考察命题（3）的真假 途径1：结论开放。α⊥β且a⊥β不一定能得到aα，但可以判断a与α的位置关系是什么？（平行或在平面内） 途径2：条件开放。为了得到aα这个结论，需要增加什么条件？（由途径1可知：为使a∥α不成立，a须经过α内的一点P。） 思考：（1）设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？ 分析：过一点只能作一条直线与已知平面垂直。（答：直线a必在平面α内） 归纳：。 （2）已知平面α、β和直线a，若α ⊥β，a ⊥β，，则直线a与平面α具有什么位置关系？（答：直线a与平面α平行） 归纳：。 探究：已知平面α、β和直线a，若α ⊥β，，则直线a与平面β具有什么位置关系？（a ⊥β） 4、应用举例 例：如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。 证明：设圆O所在平面为α ，由已知条件， PA ⊥α ，BC在α内，所以PA⊥BC， 因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是圆O的直径， 所以∠BCA是直角，即BC⊥AC。 又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线， 所以BC⊥平面PAC，又因为BC在平面PBC内，所以平面PAC⊥平面PBC。 5、探究：如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？ 拓展：哪些直线互相垂直？线面垂直呢？ 1