模n剩余类环及其应用数学与应用数学.doc

模n剩余类环及其应用 摘要: 模n剩余类环是一种比较透彻的特殊环. 本文主要从模n剩余类环的定义和性质出发, 系统论述了模n剩余类环及其相关性质, 并列举了模n剩余类环在纯代数证明和完全及简化剩余系的性质方面的一些应用. 关键词: 模n剩余类环; 模n剩余类子环; 幂等元; 理想 中图分类号: O153 Modulo n Residue Class Ring and Its Application Abstract: Modulo n residue class ring is a kind of thorough special ring. In this thesis, mainly based on the definition of modulo n residue class ring and its primary property, the author first completely expounds it and its relative properties. Then, some application in the proof of pure algebraic and the simplification of the remaining coefficients is listed. Key words: Modulo n residue class ring; Modulo n residual class ring; Idempotent element; Sub-ring ideal 目 录 1引言 1 2 基本知识 1 2.1 模n剩余类环的基本概念 1 2.2 模n剩余类环的基本性质 2 3 主要结果及其证明 3 3.1 模n剩余类环的一般性质 3 3.2 模n剩余类子环的相关命题 4 3.3 模n剩余类加群相关性质列举 8 3.4 模n剩余类乘法群及其幂等元的简单求法 9 3.5 模n剩余类环的理想 11 3.6 剩余类环的应用 13 参考文献 16 模n剩余类环及其应用 1引言 自从1910年狄德金和克隆尼克共同创立环论以来, 学者们就对各种环进行了深入系统的研究, 开辟了许多新的研究领域, 并取得了许多有意义的研究成果. 环是两个二元运算建立在群的基础上的一个代数系统, 因此它的许多基本概念与理论与群相似, 也是对群的相应内容的推广. 模n剩余类环就是环中研究比较透彻的一类环, 常见于各类论著之中, 同时, 它也有很重要的应用. 2 基本知识 在集合中, 固定(可以是任意形式), 规定中元素间的一个关系为, 则, 当且仅当. 其中, 表示能整除. 易见, 这是一个等价关系, 记这个等价关系为模的同余关系, 并用来表示. 我们知道一个等价关系决定一个分类, 所以该等价关系便决定了集合的一个分类, 我们将如此得来的分类就叫作模的剩余类. 2.1 模n剩余类环的基本概念 定义2.1.1 对, 令, 任取, 规定, 为的两个代数运算, 可知作成一个环, 是一个阶有单位元的交换环, 我们称其为以为模的剩余类环, 或简称模剩余类环. 显然, 该环关于加法作成一个阶循环群, 从而是阶循环环. 定义2.1.2 对, 类中若有一个整数与互素, 则这个类中的所有整数都同互素, 我们就说类与互素. 定义2.1.3 对, 若存在中的元素,使得, 则称 为环的一个左零因子. 同样可定义右零因子, 若的左零因子与右零因子相等, 称其中任意一个为的零因子. 定义2.1.4 中, 若使得, 有, 则称元素为环的单位元, 记作. 定义2.1.5 中, 若, 有, 使得, 则称是的逆元, 与互逆. 定义2.1.6 对, (对加法)有最大的阶, 则称为的特征. 定义2.1.7 对于的任一非空子集, 若满足: , ; , . 则称集合为的一个理想子环, 简称的理想. 定义2.1.8 设为任意一个环, 是的理想. 则对陪集的加法和乘法作成一个环, 称该环为关于的商环. 定义2.1.9 的乘法群(为素数时, 中的所有非零元做成, 为合数时, 中的所有可逆元做成)中, 对于, 若满足:, 则称为的一个幂等元[1]. 定义2.1.10 对于, 若, 使得, 则称整除, 记作,否则, 不整除. 2.2 模n剩余类环的基本性质 性质2.2.1 对, 若, 则. 性质2.2.2 对, . 性质2.2.3 设, . 在以下内容中, 表示的正因子的个数, 为Euler函数, 表示不超过, 与互素的元素的个数. 3 主要结果及其证明 3.1 模n剩余类环的一般性质