第16讲 与 剩余类环 .ppt

作业：P92, 2,3,4. * * * * * * * * * * * 数学是打开科学大门的钥匙; 数学是科学的语言; 数学是思维的工具; 数学是理性的艺术; 数学是一种理性精神. 第15讲 剩余类环Zn 问题： 下面, 我们利用整数环模极大理想来回答上述问题. 问: 对任一素数 p, 有限域的特征是一个素数. 给出了非常有用的 2元域F2. 如果有, 怎么构造? 有特征为 p 的有限域吗? nZ={nk: k∈Z} ?Z. 商环 Z /nZ= {[0], [1], [2], …, [n ?1]} 其中 [k]=k+nZ. 每个理想都是主理想的环称为主理想环. 启示: N的极小生成集只能有一个数. 即N是主理想, 其生成元必然是 a = qd , b = hd, q, h∈Z. 设N是 Z 的非零理想, 考察 N 的生成集. (一) Z 的理想 ? a, b ∈N, 联系 a 和 b 的是它们的最大公因数 d = ua + vb, u, v∈Z. 而 a 和 b 可由 d 生成: 由理想的吸收性得 d∈N, Ｎ中绝对值最小的数, 设为 n, 则 N = (n) = nZ = {qn: q∈Z} 结论 定理1 整数环是主理想环 命题1 分析 a = qn + r, 　 0 ? r n. 则 a + (n) = r + q n + (n) = r + (n) . 设 n ≠0. Z∕(n) , 二 商环的结构 设 ? a + (n) ∈ 商环 Zn =Z? (n) = {[0], [1], …, [n ? 1]}, [k]=k+(n). 称为模 n 的剩余类环 . ? 证明 所以, (n) 是极大理想。 n是素数. 是Z的极大理想 ? 主理想 (n) 定理2 三 Z的极大理想 若有 (n) ? (m) ? Z, 则 m|n, 充分性 设 n 是素数, ? m = 1, -1, n 或 -n, ? (m) = Z 或 (n), 所以, (n) 是极大理想. 必要性 设 (n) 是极大理想. ? m|n, 则 (n) ? (m) ? Z, ? m = 1, -1, 或 n, -n, ? (m) = Z 或 (n), Zn = Z ? (n)是域 ? 推论 n是素数. 由于 前面的推理告知了如何构造素数个元的有限域. 第三章将介绍如何构造 p k ( p素数) 个元的有限域. 例1 证明 x3 +13x+121 在Z[x]中不可约. 证明 对系数取模2得 x3 +x+1, 作为域Z2上的多项式, 在Z2={[0], [1]}中没有根, 因而在Z2[x]中不可约. 所以, 在Z[x]中不可约. 命题2 设 p 是素数, 从 Z[x] 到 Zp[x]有环同态 证明 是Z到Zp的自然同态, 直接验证即得. 根据命题2, f(x)在Z[x]中可约, 则 ?( f(x))在Zp[x]中必然可约. 下面看一看Zp的妙用. 根据是 证明 命题 [k]∈Zn关于乘法可逆当且仅当 k与n互素. (k,n)=1 定义 环R中的元素 a 称为可逆的,如果有 b∈R使得 ab=ba=1. ? 有s,t∈Z使得 sk+tn=1 ? [s][k]= [sk]=[1] ? [k]可逆 ?2.4 剩余类环Zn 设n= 是n的素因子分解, 则 . 推论 Zn中所有可逆元组成乘法群. 它的阶是 设 [a], [b]∈Zn, 若[a] = [b], 则称a 与 b 模 n 同余, 记为 ?2.4 剩余类环Zn 1, 2,…, n中所有与n互素的元的个数?(n), 称为欧拉函数. a ≡b (mod n). 推论 设 p 是素数, 且 p?a, 则 a p ?1 ≡ 1 (mod p). 欧拉-费尔马定理 若(a, n)=1, 则 a ?(n), ≡1 (mod n). ?[0]?, ?[1]?= Z15, ?[5]?={[0], [5], [10]}= ?[10]?, ?[3]?={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ?[6]?= ?[9]?= ?[12]?. (3) 全部全部子加群； { [0], [1], …, [14]} (5) 全部理想； 写出剩余类加群Z15的 (2) 全部生成元; 例1 (8) Z15是域吗？