二次函数与三角函数的图像与性质.pdf

二次函数与三角函数的图像与性质

一、二次函数的图像与性质

1.图像特点：二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。开口向

上的抛物线顶点在最低点，开口向下的抛物线顶点在最高点。

2.性质：二次函数的图像具有对称性，对称轴是抛物线的轴线，即x=

-b/2a。对称轴上的点关于抛物线对称。

3.顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。顶点是抛物线的

最高点或最低点，取决于a的正负。

4.零点：二次函数与x轴的交点称为零点。二次函数最多有两个零点。

5.开口方向：当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口

向下。

6.增减性：当a0时，随着x的增大，y值增大；当a0时，随着x

的增大，y值减小。

二、三角函数的图像与性质

1.正弦函数（sinx）：

–图像特点：正弦函数的图像是一条周期性波动的曲线，周期为

2π。

–性质：正弦函数的值域为[-1,1]，在0°到π之间，正弦函数是

增函数；在π到2π之间，正弦函数是减函数。

2.余弦函数（cosx）：

–图像特点：余弦函数的图像与正弦函数相似，也是一条周期性

波动的曲线，周期为2π。

–性质：余弦函数的值域为[-1,1]，在0°到π之间，余弦函数是

减函数；在π到2π之间，余弦函数是增函数。

3.正切函数（tanx）：

–图像特点：正切函数的图像是一条周期性波动的曲线，周期为

π。

–性质：正切函数的值域为全体实数，在每个周期内，正切函数

是增函数。

4.弧度制与角度制的转换：

–弧度制：πrad=180°。

–角度制：1°=π/180rad。

5.三角函数的定义：

–正弦函数：sinx=对边/斜边。

–余弦函数：cosx=邻边/斜边。

–正切函数：tanx=对边/邻边。

三、二次函数与三角函数的图像与性质的联系与区别

1.联系：二次函数与三角函数都是周期性函数，具有周期性波动的特点。

2.区别：二次函数的周期性是由方程的解的周期性决定的，而三角函数

的周期性是由函数本身的性质决定的。

3.联系：二次函数与三角函数的图像都具有对称性，但对称轴和对称中

心不同。

4.区别：二次函数的图像是一条抛物线，而三角函数的图像是波动的曲

线。

5.联系：二次函数与三角函数的值域都是全体实数或限定在一定区间内。

6.区别：二次函数的增减性取决于a的正负，而三角函数的增减性取

决于函数的定义域和值域。

习题及方法：

1.习题：已知二次函数y=-2x^2+4x-3，求该函数的顶点坐标和开口

方向。

答案：顶点坐标为(1,5/2)，开口方向向下。

解题思路：通过配方法将二次函数转化为顶点式，得到y=-2(x-1)^2+5/2，

从中可以直接读出顶点坐标和开口方向。

2.习题：已知二次函数y=x^2-6x+9，求该函数的对称轴和最大值。

答案：对称轴为x=3，最大值为9。

解题思路：通过配方法将二次函数转化为顶点式，得到y=(x-3)^2，从中可

以直接读出对称轴和最大值。

3.习题：已知二次函数y=-3x^2+6x+2，求该函数的零点。

答案：零点为x=-2/3和x=1