与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题.doc

常考问题1　 (建议用时：50分钟) 1(2013·济南模拟)若双曲线－＝1(a0)与直线y＝无交点则离心率e的取值范围是(　　)． A．(1，2) B．(1] C．(1，) D．(1] 解析　因为双曲线的渐近线为y＝±要使直线y＝与双曲线无交点则直线y＝应在两渐近线之间所以有，即b≤所以b－a即c所以1e≤2. 答案　 2．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y＝x交于A两点若＝4则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于(　　)． A. B．2 C. D．4 解析　直线4kx－4y－k＝0即y＝k即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y＝x的焦点设(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x＋x＋＝4故x＋x＝则弦AB的中点横坐标是弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝ 答案　 3．已知抛物线y＝4x圆F：(x－1)＋y＝1过点F作直线l自上而下顺次与上述两曲线交于点A|AB|·|CD|的值正确的是(　　)． A等于1 最小值是1 等于4 最大值是4 解析　设直线l：x＝ty＋1代入抛物线方程 得y－4ty－4＝0. 设A(x)，D(x2，y2)， 根据抛物线定义|AF|＝x＋1＝x＋1 故|AB|＝x＝x 所以|AB|·|CD|＝x＝＝ 而y＝－4代入上式 得|AB|·|CD|＝1.故选 答案　 4．已知椭圆＋＝1(0b2)与y轴交于A两点点F为该椭圆的一个焦点则△ABF面积的最大值(　　)． 解析　不妨设点F的坐标为()，而|AB|＝2b＝＝b＝＝2(当且仅当b＝4－b即b＝2时取等号)故ABF面积的最大值为2. 答案　 5．过抛物线y＝2px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线分别交于A两点则的值等于(　　)． 解析　设A(x)，B(x2，y2)，且x易知直线AB的方程为y＝－p，代入抛物线方程y＝2px可得x＋x＝＝可得x＝＝可得＝＝＝3. 答案　 6．抛物线x＝2py(p0)的焦点为F其准线与双曲线－＝1相交于A两点若△ABF为等边三角形则p＝________ 解析　由题意知B代入方程－＝1得p＝6. 答案　6 (2013·镇江模拟)已知点F是双曲线－＝1(a0)的左焦点点E是该双曲线的右顶点过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A两点若△ABE是锐角三角形则该双曲线的离心率e的取值范围是________ 解析　由题意知为若△ABE是锐角三角形则只需要∠AEB为锐角．根据对称性只要∠AEF即可．直线AB的方程为x＝－c代入双曲线方程得y＝取点A则|AF|＝＝a＋c只要|AF||EF|就能使∠AEF即＋c即ba2＋ac即c－ac－2a即e－e－20即－1e2.又e1故 答案　(1) 8．设F是椭圆＋y＝1的左焦点为坐标原点点P在椭圆上则的最大值为________ 解析　设P(x)，依题意可得F(－)，则＝x＋y＋＝x＋1－＋＝＋＋1＝ 又－2≤x所以当x2时·取得最大值＋2 答案　4＋2 9．(2013·北京卷)已知A是椭圆W：＋y＝1上的三个点是坐标原点． (1)当点B是W的右顶点且四边形OABC为菱形时求此菱形的面积； (2)当点B不是W的顶点时判断四边形OABC是否可能为菱形并说明理由． 解　(1)由椭圆W：＋y＝1知B(2)． 因为四边形OABC为菱形所以AC与OB相互垂直平分所以可设A(1)，代入＋y＝1得t＝± ∴|AC|＝2|t|＝ 因此菱形的面积S＝C|＝＝ (2)假设四边形OABC为菱形． 因点B不是W的顶点且直线AC不过原点所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0)． 由 消y并整理得(1＋4k)x2＋8kmx＋4m－4＝0. 设A(xy1)，C(x2，y2)，则 ＝－＝k·＋m＝ ∴线段AC中点M 因为M为AC和OB的交点＝－ 又k·＝－－1与OB不垂直． 故四边形OABC不是菱形这与假设矛盾． 所以当点B不是W的顶点时四边形OABC不可能是菱形．(2013·浙江卷)已知抛物线C的顶点为O(0)，焦点为(0，1)． (1)求抛物线C的方程； (2)过F作直线交抛物线C于A两点．若直线AO分别交直线l：y＝x－2于M两点求|的最小值． 解　(1)由题意可设抛物线C的方程为x＝2py(p0)则＝1所以抛物线C的方程为x＝4y. (2)设A(x)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1. 由y，整理得x－4kx－4＝0 所以x＋x＝4k＝－4. 从而|x－x＝4 又y＝且y＝x－2 解得点M的横坐标x＝＝＝ 同理点N的横坐标x＝ 所以|MN|＝－x ＝ ＝8 ＝ 令4k－3＝t则k＝ 当t0时＝2. 当t0时＝2 . 综上所述当t＝－即k＝－时 |MN|取到最小值 11．(2013·郑州模拟)已知椭圆的焦点坐标为F(－1)，F2(1