4圆锥曲线定点、定值问题.doc

17．（2011佛山一检）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点为椭圆上的动点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值； （Ⅲ）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为，∵直线与圆相切，∴，即， 又，即，，解得，， 所以椭圆方程为． （Ⅱ）设， ，，则，即， 则，， 即， ∴为定值． （Ⅲ）设，其中． 由已知及点在椭圆上可得， 整理得，其中． ①当时，化简得， 所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段；②当时，方程变形为，其中，当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分； 当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分； 当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆．20．（2011福州期末）如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。 （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若为定值。 解：（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴， O为原点，建立平面直角坐标系， ∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变． 且点Q在曲线C上,∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4． ∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆 设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1．∴曲线C的方程为+y2=1 （Ⅱ）证法1：设点的坐标分别为， 又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交． ∵，∴． ∴ ，． 将M点坐标代入到椭圆方程中得：，去分母整理，得． 同理，由可得：． ∴ ，是方程的两个根，∴ ． （Ⅱ）证法2：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交． 显然直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程是 ． 将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 并整理得 ． ∴ ，． 又 ∵，则．∴， 同理，由，∴． ∴． 21.（ 2011广东广雅中学期末）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点 在直线上。 （1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程； （3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。 【解析】（1）又由点M在上，得 故，从而 所以椭圆方程为 或 （2）以OM为直径的圆的方程为 即 其圆心为,半径 因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2 所以圆心到直线的距离 所以，解得所求圆的方程为 （3）方法一：由平几知： 直线OM：，直线FN： 由得 所以线段ON的长为定值。 方法二、设，则 ……………12分 又 所以，为定值 30．（2011哈尔滨期末）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点且离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 解：（1）椭圆的标准方程为 （2）设，得: ，, 以为直径的圆过椭圆的右顶点，， ， ，，且均满足， 当时，的方程为，则直线过定点与已知矛盾 当时，的方程为，则直线过定点 直线过定点，定点坐标为 34．(2011湖北八校一联) 已知双曲线的左、右顶点分别为A1、A2，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为 （I）求k的取值范围，并求的最小值； （II）记直线是定值吗？证明你的结论。 解： （Ⅰ）与圆相切, ………… ① 由 , 得 , , ,故的取值范围为. 由于， 当时，取最小值. （Ⅱ）由已知可得的坐标分别为， ， ， 由①，得 ， 为定值. 37．（2011·湖北重点中学二联）已知点是椭圆上任意一点，直线的方程为 （I）判断直线与椭圆E交点的个数； （II）直线过P点与直线垂直，点M（-1，0）关于直线的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。 解：（1）由消去并整理得， 故直线与椭圆只有一个交点（2）直线的方程为即 设关于直线的对称点的坐标为 则 解得 直线的斜率