2024_2025学年高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法课后巩固提升含解析新人教A版选修1_2.docx

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其次章推理与证明

2.2干脆证明与间接证明

2.2.2反证法

课后篇巩固提升

基础巩固

1.在运用反证法推出冲突的推理过程中,可以把下列哪些作为条件运用()

①结论的反设;②已知条件;③定义、公理、定理等;④原结论.

A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④

解析除原结论不能作为推理条件外,其余均可.

答案C

2.(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2.用反证法证明时,可假设p+q≥2.

(2)已知a,b∈R,|a|+|b|1,求证方程x2+ax+b=0的两根的肯定值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的肯定值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下结论正确的是()

A.(1)与(2)的假设都错误

B.(1)与(2)的假设都正确

C.(1)的假设正确;(2)的假设错误

D.(1)的假设错误;(2)的假设正确

解析“≤”的反面是“”,故(1)错误.“两根的肯定值都小于1”的反面是“至少有一个根的肯定值大于或等于1”,故(2)正确.

答案D

3.设a,b,c,d大于0,则4个数的值()

A.至多有一个不大于1 B.都大于1

C.至少有一个不大于1 D.都小于1

解析由a=1,b=2,c=4,d=4可推断A,B,D错误;假设4个数的值都大于1,因为a,b,c,d大于0,所以ab,bc,cd,da,而ab,bc,cd?ad,与da相冲突,假设不成立,故4个数的值至少有一个不大于1,C正确.故选C.

答案C

4.用反证法证明“至少存在一个实数x,使log3x0成立”时,假设正确的是()

A.至少存在两个实数x,使log3x0成立

B.至多存在一个实数x,使log3x0成立

C.随意实数x,log3x0恒成立

D.不存在实数x,使log3x0成立

解析依据反证法的原理,“至少存在一个实数”的反面是“不存在实数x”,故假设“不存在实数x,使log3x0成立”.故选D.

答案D

5.将“函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使f(c)0”反设,所得命题为“”.?

解析“至少存在一个”反面是“不存在”.

答案函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上恒小于等于0

6.“x=0,且y=0”的否定形式为.?

解析“p且q”的否定形式为“p或q”.

答案x≠0或y≠0

7.完成反证法证题的全过程.

题目:设a1,a2,…,a7是由数字1,2,…,7随意排成的一个数列,p=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7),求证:p为偶数.

证明:假设p为奇数,则均为奇数.?

因为7个奇数之和为奇数,故有

(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)为.①?

而(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=.②?

①与②冲突,故假设不成立,故p为偶数.

解析由假设p为奇数,可知a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)为奇数,而(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0,冲突,故假设不成立,故p为偶数.

答案a1-1,a2-2,…,a7-7奇数0

8.已知a,b,c是互不相等的非零实数,求证:由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b确定的三条抛物线中至少有一条与x轴有两个不同的交点.

证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点.

由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a,y3=cx2+2ax+b,得Δ1=(2b)2-4ac≤0,且Δ2=(2c)2-4ab≤0,且Δ3=(2a)2-4bc≤0.

同向不等式求和得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0.

∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0.∴a=b=c.

这与题设a,b,c互不相等冲突,因此假设不成立,从而原命题得证.

9.

如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.

证明假设ME与BN共面,

则AB?平面MBEN,

且平面MBEN∩平面DCEF=EN.

由已知两正方形不共面,得AB?平面DCEF.

又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,

而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,

所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF,

所以EN∥EF,这与EN∩EF=E冲