2024_2025学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法教案2新人教A版选修1_2.doc

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2.2.2反证法

一、教学目标：

1.学问与技能：

(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；

(2)了解反证法的思索过程与特点,会用反证法证明数学问题.

2.过程与方法:

通过学生动手及简洁实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简洁应用.

3.情感看法与价值观

通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。提高学生推导、推理实力及思索问题和解决问题的实力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。

二.教学重点：

了解反证法的思索过程与特点..

三.教学难点：

正确理解、运用反证法.

四.教学方法：

多媒体协助教学；小组合作探究，多元活动.

教学过程：

课前复习与思索：

（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础：

干脆证明：是从命题的条件或结论动身，依据已知的定义、公理、定理，干脆推理证明结论的真实性。

常用的干脆证明方法：综合法与分析法。

综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。

（2）让学生思索间接证明是什么？它有哪些方法？（初中所学）

间接证明：不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。

反证法就是一种常用的间接证明方法。

二、探究新知

【新课导引】

多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生留意视察现象.

提问学生，让学生由感性相识上升到理性相识：

同学们请看，这9个球无论如何染色，至少有5个球是同色的.你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？

【学生自主合作探究】

学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：

1、什么是反证法？

2、反证法的证题步骤有哪几步？

3、什么样的命题适合用反证法来证明？

4、反证法的应用关键在于什么？

【学生展示、沟通】

（1）反证法概念

反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出冲突，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。

（2）反证法的一般步骤：

a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；

b、归缪：从假设动身，经过推理论证，得出冲突；

c、下结论：由冲突判定假设不成立，从而确定命题成立。

（3）应用反证法的情形：

=1\*GB3①干脆证明困难;

=2\*GB3②需分成许多类进行探讨．

=3\*GB3③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题；

=4\*GB3④结论为“唯一”类命题；

（4）关键在于归缪冲突：

a、与已知条件冲突；b、与公理、定理、定义冲突；c、自相冲突。

【老师归纳评价并强调】：

同学们对反证法的学习已经有了一些相识，而反证法引出冲突没有固定的模式，须要仔细视察、分析，洞察冲突。

三、老师点拨

【老师引导学生完成】：

例1、已知a是整数，2能整除，求证：2能整除a.

证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”。

因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则

，即是奇数。

所以，2不能整除。这与已知“2能整除”相冲突。于是，“2不能整除a”这个假设错误，故2能整除a.

例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。

证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，如图所示，则。

这样的内角和

。

这与定理“三角形的内角和等于”相冲突，这说明假设是错误的。所以直线a与b不相交，即a与b平行。

例3、求证：是无理数。

证明：不是无理数，即是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设，且p，q互素，则。所以..①

故是偶数，q也必定为偶数。设q=2k，代入①式，则有，即，所以p也为偶数。P和q都是偶数，它们有公约数2，这与p，q互素相冲突。因此，假设不成立，即“是无理数”。

【老师从例题分析中小结反证法相关学问，提高学生的解题实力】：

反证法的方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而确定原命题真实.

四、学生练习及检测,老师评价

1、

2、

【课堂回顾】

同学们，本节课前有关小球染色的问题应当可以找到答案了，那就是用反证法来证明.你能证明白吗？请同学们课后主动思索与实践.

五、课后思索:

A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎.则C必定是在撒谎，为什么？

分析:假设C没有撒谎,则C话为真

那么A话为假且B话为假;

由A话为假,知B话为真.这与B话为假冲突.