2015-2016学年高中数学第二章推理与证明222反证法课时作业新人教A版选修1-2.doc

2.2.2　反证法 明目标、知重点　1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题． 1．定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． [情境导学] 王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．” 这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法． 探究点一　反证法的概念 思考1　通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？ 答　(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)， (2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)， (3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法． 思考2　反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？ 答　(1)与原题中的条件矛盾； (2)与定义、公理、定理、公式等矛盾； (3)与假设矛盾． 思考3　反证法主要适用于什么情形？ 答　①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰； ②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形． 探究点二　用反证法证明定理、性质等一些事实结论 例1　已知直线a，b和平面α，如果aα，bα，且a∥b，求证：a∥α. 证明　因为a∥b， 所以经过直线a，b确定一个平面β. 因为aα， 而aβ， 所以α与β是两个不同的平面． 因为bα， 且bβ， 所以α∩β＝b. 下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点． 假设直线a与平面α有公共点P，如图所示， 则P∈α∩β＝b， 即点P是直线a与b的公共点， 这与a∥b矛盾． 所以a∥α. 反思与感悟　数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法． 跟踪训练　如图，已知a∥b，a∩平面α＝A. 求证：直线b与平面α必相交． 证明　假设b与平面α不相交， 即bα或b∥α. ①若bα， 因为b∥a，aα，所以a∥α， 这与a∩α＝A相矛盾； ②如图所示，如果b∥α， 则a，b确定平面β. 显然α与β相交， 设α∩β＝c，因为b∥α， 所以b∥c.又a∥b， 从而a∥c，且aα，cα， 则a∥α，这与a∩α＝A相矛盾． 由①②知，假设不成立， 故直线b与平面α必相交． 探究点三　用反证法证明否定性命题 例　求证：不是有理数． 证明　假设是有理数．于是，存在互质的正整数m，n， 使得＝，从而有m＝n，因此m2＝2n2， 所以m为偶数．于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有 4k2＝2n2，即n2＝2k2，所以n也为偶数．这与m，n互质矛盾． 由上述矛盾可知假设错误，从而不是有理数． 反思与感悟　当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法． 跟踪训练2　已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列． 证明　假设，，成等差数列，则 ＋＝2，即a＋c＋2＝4b， 而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4， ∴(－)2＝0.即＝， 从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾， 故，，不成等差数列． 探究点四　含至多、至少、唯一型命题的证明 例　若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根． 证明　假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β ，不妨设αβ，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)f(β)．这与假设f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根． 反思与感悟　当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，注意准确写出命题的假设． 跟踪训练3　若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a、b、c中至少有一个大