文档详情

梅涅劳斯定理及其应用.doc

发布:2024-05-31约1.32千字共5页下载文档
文本预览下载声明

PAGE

PAGE1

梅涅劳斯定理及其应用

(姓名)

摘要:使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算,其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法,是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理,具有重要的作用。本文简单介绍了梅捏劳斯定理及其应用。

关键词:共线、共点、应用

梅涅劳斯定理

1.定理设分别是的边或其延长线上的点,且有奇数个点在边的延长线上,则三点共线的充要条件是

2.定理的证明

证明1:不妨设中的一点在边的延长线上(如图所示)。若三点共线,过引交于,则

故.

反之,若成立,设直线与的延长线交于,即,,三点共线,则由上面的证明有与比较,

可得,即与重合,故三点共线。

若三点均在边的延长线上,上面的证明仍然适用。

注:“三点中有奇数个点在边的延长线上”这一条件十分必要,否则梅捏劳斯定理不成立

证明2:(正弦定理)如图,令,,,

在中,由正弦定理知:,

同理,

∴,,,

∴,即.

3、梅涅劳斯定理的逆定理

梅涅劳斯定理的逆定理也成立,即如果有三点、、分别在的三边、、或其延长线上,且满足,那么、、三点共线。

注:利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线

梅涅劳斯定理的应用

梅涅劳斯定理的应用定理1若的的外角平分线交边延长线于,的平分线交边于,的平分线交边于,则、、三点共线。

证明:由三角形内、外角平分线定理知,,,,

则,

故、、三点共线。

梅涅劳斯定理的应用定理2过任意的三个顶点、、作它的外接圆的切线,分别和、、的延长线交于点、、,则、、三点共线。

证明:∵是⊙的切线,

∴∽,

∴,

则,

同理:,

∴,

故、、三点共线。

例1已知:过顶点的直线,与边及中线分别交于点和.

求证:.

证明:直线截,

由梅涅劳斯定理,

得:

又,

∴,

例2已知:过重心的直线分别交边、及延长线于点、、.求证:.

证明:连接并延长交于,

则,

∵截,

∴由梅氏定理得,;

同理:

∴,,

例3ABCD是一个平行四边形,E是AB上的一点,F为CD上的一点。AF交ED于G,EC交FB于H。连接线段GH并延长交AD于L,交BC于M。求证:DL=BM.

证明:如图,设直线LM与BA的延长线交于点J,与DC的延长线交于点I。

在△ECD与△FAB中分别使用梅涅劳斯定理,得

.

因为AB//CD,所以

,.

从而,即,故CI=AJ.而

且BM+MC=BC=AD=AL+LD.所以BM=DL。

例4若三角形ABC的的外角平分线交边延长线于,的平分线交边于,的平分线交边于,则三点共线。

证明:由三角形内、外角平分线定理知,

故三点共线。

通过对梅涅劳斯定理及其应用的简单介绍,我们可以看出,梅涅劳斯定理的应用是十分广泛的,所以我们要牢记梅涅劳斯定理、及其定理的证明,还要掌握好其定理的应用。

显示全部
相似文档