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梅涅劳斯定理及其应用
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摘要:使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算,其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法,是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理,具有重要的作用。本文简单介绍了梅捏劳斯定理及其应用。
关键词:共线、共点、应用
梅涅劳斯定理
1.定理设分别是的边或其延长线上的点,且有奇数个点在边的延长线上,则三点共线的充要条件是
2.定理的证明
证明1:不妨设中的一点在边的延长线上(如图所示)。若三点共线,过引交于,则
故.
反之,若成立,设直线与的延长线交于,即,,三点共线,则由上面的证明有与比较,
可得,即与重合,故三点共线。
若三点均在边的延长线上,上面的证明仍然适用。
注:“三点中有奇数个点在边的延长线上”这一条件十分必要,否则梅捏劳斯定理不成立
证明2:(正弦定理)如图,令,,,
在中,由正弦定理知:,
同理,
∴,,,
∴,即.
3、梅涅劳斯定理的逆定理
梅涅劳斯定理的逆定理也成立,即如果有三点、、分别在的三边、、或其延长线上,且满足,那么、、三点共线。
注:利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线
梅涅劳斯定理的应用
梅涅劳斯定理的应用定理1若的的外角平分线交边延长线于,的平分线交边于,的平分线交边于,则、、三点共线。
证明:由三角形内、外角平分线定理知,,,,
则,
故、、三点共线。
梅涅劳斯定理的应用定理2过任意的三个顶点、、作它的外接圆的切线,分别和、、的延长线交于点、、,则、、三点共线。
证明:∵是⊙的切线,
∴∽,
∴,
则,
同理:,
∴,
故、、三点共线。
例1已知:过顶点的直线,与边及中线分别交于点和.
求证:.
证明:直线截,
由梅涅劳斯定理,
得:
又,
∴,
则
例2已知:过重心的直线分别交边、及延长线于点、、.求证:.
证明:连接并延长交于,
则,
∵截,
∴由梅氏定理得,;
同理:
∴,,
∴
即
例3ABCD是一个平行四边形,E是AB上的一点,F为CD上的一点。AF交ED于G,EC交FB于H。连接线段GH并延长交AD于L,交BC于M。求证:DL=BM.
证明:如图,设直线LM与BA的延长线交于点J,与DC的延长线交于点I。
在△ECD与△FAB中分别使用梅涅劳斯定理,得
,
.
因为AB//CD,所以
,.
从而,即,故CI=AJ.而
,
且BM+MC=BC=AD=AL+LD.所以BM=DL。
例4若三角形ABC的的外角平分线交边延长线于,的平分线交边于,的平分线交边于,则三点共线。
证明:由三角形内、外角平分线定理知,
则
故三点共线。
通过对梅涅劳斯定理及其应用的简单介绍,我们可以看出,梅涅劳斯定理的应用是十分广泛的,所以我们要牢记梅涅劳斯定理、及其定理的证明,还要掌握好其定理的应用。