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梅涅劳斯定理及其应用

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摘要：使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。本文简单介绍了梅捏劳斯定理及其应用。

关键词：共线、共点、应用

梅涅劳斯定理

1．定理设分别是的边或其延长线上的点，且有奇数个点在边的延长线上，则三点共线的充要条件是

2．定理的证明

证明1：不妨设中的一点在边的延长线上（如图所示）。若三点共线，过引交于，则

故.

反之，若成立，设直线与的延长线交于，即，，三点共线，则由上面的证明有与比较，

可得，即与重合，故三点共线。

若三点均在边的延长线上，上面的证明仍然适用。

注：“三点中有奇数个点在边的延长线上”这一条件十分必要，否则梅捏劳斯定理不成立

证明2：（正弦定理）如图，令，，，

在中，由正弦定理知：，

同理，

∴，，，

∴，即.

3、梅涅劳斯定理的逆定理

梅涅劳斯定理的逆定理也成立，即如果有三点、、分别在的三边、、或其延长线上，且满足，那么、、三点共线。

注：利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线

梅涅劳斯定理的应用

梅涅劳斯定理的应用定理1若的的外角平分线交边延长线于，的平分线交边于，的平分线交边于，则、、三点共线。

证明：由三角形内、外角平分线定理知，，，，

则，

故、、三点共线。

梅涅劳斯定理的应用定理2过任意的三个顶点、、作它的外接圆的切线，分别和、、的延长线交于点、、，则、、三点共线。

证明：∵是⊙的切线，

∴∽，

∴，

则，

同理：，

∴，

故、、三点共线。

例1已知：过顶点的直线，与边及中线分别交于点和.

求证：.

证明：直线截，

由梅涅劳斯定理，

得：

又，

∴，

则

例2已知：过重心的直线分别交边、及延长线于点、、.求证：.

证明：连接并延长交于，

则，

∵截，

∴由梅氏定理得，；

同理：

∴，，

∴

即

例3ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点。AF交ED于G，EC交FB于H。连接线段GH并延长交AD于L，交BC于M。求证：DL=BM.

证明：如图，设直线LM与BA的延长线交于点J，与DC的延长线交于点I。

在△ECD与△FAB中分别使用梅涅劳斯定理，得

，

.

因为AB//CD，所以

，.

从而，即，故CI=AJ.而

，

且BM+MC=BC=AD=AL+LD.所以BM=DL。

例4若三角形ABC的的外角平分线交边延长线于，的平分线交边于，的平分线交边于，则三点共线。

证明：由三角形内、外角平分线定理知，

则

故三点共线。

通过对梅涅劳斯定理及其应用的简单介绍，我们可以看出，梅涅劳斯定理的应用是十分广泛的，所以我们要牢记梅涅劳斯定理、及其定理的证明，还要掌握好其定理的应用。