山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第23章角元形式的梅涅劳斯定理[教学].doc

第23章 角元形式的梅涅劳斯定理 第一角元形式的梅涅劳斯定理设、、分别是的三边、、所在直线（包括三边的延长线）上的点，则、、共线的充要条件是 证明如图23-1，由， 及， ． 这三式相乘，运用梅涅劳斯定理及其逆定理，知结论成立． 第二角元形式的梅涅劳斯定理设、、分别是的三边、、所在直线上的点，点不在三边所在直线上，则、、三点共线的充要条件是 ． 证明如图23-2．注意到 （其中）， ，． 所以 ． 而由梅涅劳斯定理及逆定理知、、共线． 故知结论成立． 注：在上述两定理中，若采用有向角（规定角的终边绕逆时针方向时角为正值，否则为负值）时，两条件式的右端均为，有向角记为． 下面给出运用如上定理处理问题的例子． 例1如图23-3，设的三边、、所在的直线 上的点、、共线，并且直线、、关于、、平分线的对称直线、、分别与、、所在直线交于、、，则、、也共线． 证明对及截线应用第一角元形式的梅涅劳斯定理，有 ． 由题设知，，，，，，． 从而有， 即． 由第一角元形式的梅涅劳斯定理知，、、三点共线． 例2若三角形的三条外角平分线皆与对边所在直线相交，则三交点共线． 证明如图23-4，设的三条外角平分线分别与对边所在直线相交于、、，则知，，，，，． 故有 ． 故、、三点共线． 例3分别过三角形的三顶点作其外接圆的切线，证明：若三切线皆与其对边所在直线相交，则三交点共线． 证明设过的三顶点、、的切线与对边、、所在直线分别交于、、．则弦切角定理，，，，，． 故有 ． 故、、三点共线． 例4在筝形中，，，过上一点作一条直线分别交、于、，再过点作一条直线分别交、于、．设与分别交于，．求证：． 证明如图23-6，过作的平行线交直线于，再过作的平行线交直线于，则，， 进而 ，所以 ． 使、、分别为三边所在直线上的点，且点不在三边所在直线上，由第二角元形式的梅涅劳斯定理，即知、、三点共线． 于是，由，，有． 因此，． 故． 注：当即为中点时为1989年的冬令营选拔赛题． 例5设为非直角三角形，、、为三边上的高，、、为垂足，过的垂心分别作边，，的平行线与直线、、对应相交于、、．求证：、、三点共线． 证明如图23-7，有，，，，，．从而 ． 因为非直角三角形，点不在三边上，故由第二角元形式的梅涅劳斯定理知、、三点共线． 例6设、分别为四边形的边、上的点，与交于点．求证： ，则． 证明只需证明：当关于的等角线交于时，、、共线即可，如图23-8所示． 事实上，、、分别为三边所在直线上的三点，不在其三边所在直线上，而，，． 故． 故由第二角元形式的梅涅劳斯定理，知、、三点共线． 注：注平分时，即为1999年全国高中联赛题． 例7设为所在平面上一点，过点作的垂线交直线于，作的垂线交直线于，作的垂线交于．求证：、、共线． 证明当点在的某边所在直线上时，结论显然成立． 下设点不在的边所在直线上，则，，，，，． 于是， ． 故由第二角元形式的梅涅劳斯定理，知、、三点共线． 练习题二十三 1． 萧振钢．再谈定理的第二角元形式．中学数学研究，2007（9）：16-18．四边形的对角线交于，在直线上取一点，设交于，交于，交于，交于，交于，证明：、、三点共线． 萧振钢．再谈定理的第二角元形式．中学数学研究，2007（9）：16-18． 2．设与的对应顶点的连线交于一点，、、分别为的三边所在直线上的点，直线、、分别交的三边，，所在直线于、、．求证：、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线． 3．设为所在平面上一点，、、分别为的三边、、所在直线上的三点，关于的等角线交于，关于的等角线交于，关于的等角线交于，则、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线． 4．设的外心为，与的垂心分别为、，直线交于，求证：． 5．设为的顶角的外角平分线上一点，的两条等角线分别交直线、于、，与交于，则平分． 6．圆内三弦、、交于一点、为圆周上一点，直线、、分别交直线、，于、、，求证：、、、四点共线． 7．（第7章推广7）在中，为边上任意一点，从在形内作一条射线，使．是上任意一点，与交于点，与交于点．求证：． 8．（第7章推广8）任意四边形中，从顶点在形内作射线，使，在上取一点，与交于点，与交于点．求证：．