第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理.docx

第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理 一、 梅涅劳斯定理 定理1 若直线l不经过?ABC的顶点，并且与?ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于 证明：设hA、hB、hC分别是A、B 注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。 例1 若直角?ABC中，CK是斜边上的高，CE是∠ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF∥CE。 【解析】因为在?EBC中，作∠B的平分线BH，则：∠EBC=∠ACK，∠HBC=∠ACE，∠HBC+∠HCB=∠ACK+∠HCB=90°，即BH⊥CE，所以?EBC为等腰三角形，作BC上的高EP，则：CK=EP，对于?ACK和三点D、E、F根据梅涅劳斯定理有：CDDA?AEEK?KFFC 例2 从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与A、B、C、D和A1，B 【解析】若AD∥A1D1，结论显然成立；若AD与A1D1相交于点L，则把梅涅劳斯定理分别用于?A1AL和?B1 定理2 设P、Q、R 分别是?ABC的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点，并且P、Q、R三点中，位于?ABC边上的点的个数为0或2，这时若BPPC?CQQA?ARRB=1 证明：设直线PQ与直线AB交于R’，于是由定理1得：BPPC?CQQA?AR‘R’B=1，又因为BPPC?CQQA?ARRB=1，则AR‘R’B=ARRB，由于在同一直线上P、Q、R三点中，位于?ABC边上的点的个数也为0或2，因此R与R‘或者同在AB线段上，或者同在AB的延长线上；若R与R‘同在AB线段上，则 注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘； CBA例3 点P位于?ABC的外接圆上；A1、B1、C1是从点P C B A 【解析】易得：BA1CA1=-BP?cos∠PBCCP?cos∠PCB，CB1AB1 例4 设不等腰?ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则EF与BC，FD与CA，DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上。 【解析】?ABC被直线XFE所截，由定理1可得：BXXC?CEEA?AFFB=1，又因为AE=AF，代入上式可得BXXC=FBCE，同理可得CYYA=DCAF，AZZB=EABD，将上面的式子相乘可得： 例5 已知直线AA1，BB1，CC1相交于O，直线AB和A1B1的交点为C2，直线BC和B1C 【解析】设A2、B2、C2分别是直线BC和B1C1，AC和A1C1，AB和A1B1的交点，对所得的三角形和它们边上的点：OAB和（A1，B1， 例6 在一条直线上取点E、C、A，在另一条上取点B、F、D，记直线AB和ED，CD和AF，EF和BC的交点依次为L、M、N，证明：L、M、N共线。 【解析】记直线EF和CD，EF和AB，AB和CD的交点分别为U、V、W，对?UVW，应用梅涅劳斯定理于五组三元点(L,D,E)，(A,M,F)，(B,C,N)，(A,C,E)，(B,D,F)，则有UEVE?VLWL?WDUD=1，VAWA?UFVF?WMYM 二、塞瓦定理 定理：设P、Q、R分别是?ABC的BC、CA、AB边上的点，则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是：BPPC MQRACPB证明：先证必要性：设AP、BQ、CR相交于点M，则BPPC=S?ABPS?ACP=S?BMPS?CMP=S?ABMS?ACM，同理CQQA=S?BCMS?ABM，ARRB=S?ACMS?BCM，以上三式相乘，得：BPPC?CQ M Q R A C P B CBA例7 C B A 【解析】记?ABC的中线AA1，BB1，CC1，我们只须证明AC1C1B 例8 在锐角?ABC中，∠C的角平分线交AB于L，从L做边AC和BC的垂线，垂足分别是M和N，设AN和BM的交点是P，证明：CP⊥AB。 KLNMCBA【解析】作CK⊥AB，下证CK、BM、AN三线共点，且为P点，要证CK、BM、AN三线共点，根据塞瓦定理即要证：AMMC?CNNB?BKAK=1，又因为MC=CN，即要证明：AMAK?BKNB=1 K L N M C B A 例9 设AD是?ABC的高，且D在BC边上，若P是AD上任一点，BP、CP分别与AC、AB交于E和F，则∠EDA=∠FDA。 【解析】过A作AD的垂线，与DE、DF的延长线分别交于M、N。欲证∠EDA=∠FDA，可以转化为证明AM=AN，因为AD⊥BC，故MN∥BC，可得?AME??CDE，?ANF??BDF，所以AMCD=AECE，ANBD=AFBF，于是AM=AE?CDCE，AN= 例10 在?ABC的边BC、CA、AB上取点A1、 【解析】如图对?ACC1和?BCC1应用正弦定理，可得AC1C1C=sin∠ACC