《第一章 立体几何初步》试卷及答案_高中数学必修2_北师大版_2024-2025学年.docx
《第一章立体几何初步》试卷(答案在后面)
一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB的中点，则异面直线BC1与A1E的夹角大小为：
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱AB上的一点，且AE=AB/3，点F为棱CC1上的一点，且CF=CC1/2。若平面AEF与平面B1C1D1垂直，则下列结论正确的是（）
A.EF=AB/√2
B.EF=AB/√3
C.EF=AB/√6
D.EF=AB/2
3、在空间直角坐标系中，已知点A（2，3，4），点B（-1，2，1），则向量AB的坐标表示为：
A.(-3，-1，-3)
B.(-3，-1，3)
C.(3，-1，-3)
D.(3，-1，3)
4、一个长方体的长宽高分别为3，4，5，其顶点都在球面上，则该球的表面积为（）
A.20π
B.25π
C.50π
D.100π
5、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱BB1的中点，那么异面直线AC1与BE所成的角的大小是（）
A.60°B、45°C、30°D、90°
6、正方体的棱长为2，一个顶点出发的三条棱构成的角是（）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
7、在正方体的顶点A、B、C、D、E、F中，已知AB=BC=CD=DA=EF=FB=CF=3，那么对角线AC的长度是：
A.3√2
B.3√3
C.6
D.9
8、一个长方体的长宽高分别为5cm、4cm、3cm，其外接球的半径是多少？（）
A.2.5cmB.3cmC.4cmD.5cm
二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）
1、在空间直角坐标系中，点A的坐标为(2,3,4)，点B的坐标为(-1,2,-3)。下列哪个点与点A和点B构成的三角形是直角三角形？
A.点C(1,0,1)
B.点D(0,5,1)
C.点E(0,1,5)
D.点F(3,2,0)
2、已知一个正方体的对角线长为10cm，求该正方体的表面积。
A.100cm2
B.120cm2
C.150cm2
D.200cm2
3、答案：A、B、C
三、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）
第一题
在正方体ABCD?A1
（1）求证：直线A1D与平面ABC
（2）求直线A1D到平面
第二题：
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E是棱AB上的一点，且AE：AB=1：2。求证：异面直线AD1和BE平行。
第三题
题目描述：
在长方体ABCD?A1B1C1D1
四、解答题（第1题13分，第2、3题15，第4、5题17分，总分：77）
第一题：
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是棱AA1的中点，点F是棱BB1上的一点，且BF=1。
（1）求证：平面A1BE垂直于平面A1BB1；
（2）求三棱锥A1-ABE的体积；
（3）若点F在BB1上移动，求三棱锥A1-ABE的体积V随BF的长度变化的关系式。
第二题：
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是棱AA1的中点，点F是棱BB1的中点。
（1）求证：EF平行于平面ADD1A1。
（2）若点P在平面ADD1A1上，且AP=√5，求点P到直线EF的距离。
第三题：
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱AB上的一点，且AE：AB=2：3。点F为棱A1D1上的一点，且A1F：A1D1=1：2。求证：EF平行于平面BCC1B1。
第四题：
在正方体ABCD-A?B?C?D?中，已知棱长为2，点E、F分别是A?C?与BC的中点。
求证：平面EBFD?⊥平面BCC?B?；
求直线DF与平面EBFD?所成角的大小（结果用反三角函数表示）。
证明平面EBFD?⊥平面BCC?B?
首先，我们明确正方体的结构特点，设正方体的顶点坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A?(0,0,2),B?(2,0,2),C?(2,2,2),D?(0,2,2)。
由于E、F分别是A?C?与BC的中点，所以E(0,1,2),F(1,2,0)。
向量BE=(2,1,-2),向量BD?=(0,2,-2),向量BF=(-1,2,-2)。
接下来，我们验证平面EBFD?与平面BCC?B?的法向量是否垂直。
平面EBFD?的一个法向量可以通过向量BE和BD?的叉积得到，即：
n
平面BCC?B?的一个法向量是向量BC的方向向量，即n2
因为n1
观察到，向量BD?和BF都垂直于向量BC，这表明平面EBFD?中的直线BD?和BF分别垂直于平面BCC?