作业10微积分答案二重积分的计算.pdf
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作业10二重积分的计算
1.试将二重积分d化成两种不同的二次积分，其中区域分别为：
(1)由直线及双曲线所围成的闭区域：
解.所给二重积分化为二次积分为
ddddddd
(2)环形闭区域：
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作业9二重积分的概念和性质
1.利用二重积分的性质，比较下列积分的大小：
(1)d与d
(a)是由直线以及所围成的闭区域；
(b)是由圆周所围成的闭区域.
(2)ed与ed
(a)是矩形闭区域：
(b)是矩形闭区域：
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*返回一、利用直角坐标计算二重积分三、课堂练习第二节二重积分的计算法二、利用极坐标计算二重积分若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.解积分区域如图解积分区域如图解0yxD:x+y=1,x–y=1，x=0所围11–1先对y积分.y=1–xy=x–1.8.将二重积分化成二次积分0yxD:x+y=1,x–y=1，x=0所围11–1先对y积分.先对x积分D1D2.x=1–yx=y+1（不分块儿行吗？）8.将二重积分化成二次积分.D:由四条直线:x=3，x=5,3x–2y+4=0,3x–2y+1=0共同围成的区域oxy35583x–2y+4=03x–2y+1=0D.D1D2D3先对
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第八章 第一节 一、引例 2. 平面薄片的质量 二、二重积分的定义及可积性 二重积分存在定理: 三、二重积分的性质 例1. 比较下列积分的大小: 例2. 估计下列积分之值 例3. 判断积分 8. 设函数 思考与练习 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 4. 证明: * 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分 三、二重积分的性质 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念与性质 第十章 解法: 类似定积分解决问题的思想: 1.曲顶柱体
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二重积分的概念二重积分是微积分学中的一个重要概念，用于计算在二维空间内的区域上的函数的积分。它在物理、工程、经济学等领域有着广泛的应用。ppbypptppt
二重积分的性质线性性质二重积分对被积函数满足线性性质，即常数倍和加减运算可以分别作用于积分号内外。可加性对于分段可积的函数，其二重积分可以分别计算其在每个子区域上的积分，然后将结果相加。单调性若函数在积分区域上单调递增或递减，则二重积分的大小也随之单调变化。积分区域的可换性在某些情况下，可以改变积分变量的顺序，但需要注意积分区域的对应变化。
二重积分的计算方法1直接计算法将积分区域划分为多个小矩形，对每个小矩形上的积分进行计算，然后将结果
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课题二重积分的计算与应用
课时4课时（180min）
知识技能目标：
（1）掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法
（2）掌握二重积分在极坐标系下的计算方法
教学目标（3）掌握二重积分在计算立体体积和曲面面积中的应用
素质目标：
（1）解决问题，要从本质出发，多思维、多角度思考
（2）了解和认识事物的全面，要多方面考虑
教学重点：二重积分在直角坐标系下的计算，.二重积分在极坐标系下的计算
教学重难点
教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题
教学方法讲解法、问答法、讨论法
教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材
教学过程主要教学内容及步骤
【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学
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第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 当被积函数 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 例1. 计算 例2. 计算 例3. 计算 例4. 交换下列积分顺序 例5. 计算 二、利用极坐标计算二重积分 设 例6. 计算 注: 例7. 求球体 *三、二重积分换元法 证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 因此面积元素的关系为 例8. 计算 例9. 计算由 例10. 试计算椭球体 内容小结 极坐标系情形: 若积分区域为 (3) 计算步骤及注意事项 思考与练习 2. 交换积分顺序 作业 * *三、二重积分的换元法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重
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* 第六章 多元函数积分学及其应用 第二节 二重积分的计算法 西安交通大学理学院 魏平 作业：P165（A）3双，5双，6双，7， 8，9,10,12，13双，14双。 * 直角坐标系下面积元素 连续必可积 第二节 二重积分的计算 从二重积分的几何意义可以看出，二重积分 表示一个曲顶柱体的体积 * 如果积分区域为： 一、在直角坐标系下二重积分的计算 ［X－型］ * 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得 * 如果积分区域为： ［Y－型］ * X穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相
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目录
TOC\o1-3\h\z\u摘要： 1
Abstract： 1
前言： 1
一、一重积分 2
1.1一重积分的定义 2
1.2一重积分的几何意义 2
1.3定积分的性质 2
1.4定积分的计算方法 3
二、二重积分 5
2.1二重积分的概念 5
2.1二重积分的性质 5
2.3二重积分的计算方法 6
2.3.1利用直角坐标系计算二重积分 6
2.3.2二重积分在直角坐标系中的例题 9
2.3.4利用极坐标计算二重积分 10
2.3.5极坐标下的二
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§2 二重积分的计算;(1);另一方面，;=;[;(2);另一方面，;=;[;=;=;;说明：;例1;另解：;例2;;注意：;例3;;例4;;例5;证毕。;关于对称性的定理;例6;;与;五、作 业
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按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限;预备知识：;二、利用直角坐标计算二重积分;如果积分区域为：;;; 注: 若 ?(x,y)≤0 仍然适用。;（2）Y-型域：;Y-型域下二重积分的计算：
同理：;;;; 1）积分次序: Y-型域 ,先对x积分后对y积分;;X 型区域的特点：穿过区域且平行于y 轴的直线与
区域边界相交不多于两个交点.;若区域D既是X-型又是Y-型区域，则有积分公式; 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。;1;解：;［Y－型］;;例4;在二重积分的问题中,还有一类问题是将一种二
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第六章 多元数量函数的积分学及其应用 第一节 多元数量函数积分的概念与性质 第二节 二重积分的计算 第三节 三重积分的计算 第四节 第一型曲线积分的计算 第五节 第一型曲面积分的计算 第六节 数量函数积分的应用 y o x D y x z o o x D D o x 极坐标系中的面积元素 o x D o x D D o x D o x D o x D o x D x o D x o y x y o 解： o x y o x y z D o x y D o x o x y * * 2.1 直角坐标系中二重积分的计算 o x y D z o x y a b D
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二重积分的计算法.doc
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课
题
§10.2二重积分的计算法
教学目的
使学生掌握利用直角坐标及极坐标计算二重积分的方法。
教学重点
将二重积分化为二次积分。
教学难点
将二重积分化为二次积分。
课型
根底课
备课组
教法选择
讲授
教学过程
教法运用及板书要点
一、利用直角坐标系计算二重积分
利用二重积分的几何意义来建立计算公式。假定，积分区域D为，称为X型区域如图，其中在区间上连续。
现在利用平行于平面的平面去截曲顶柱体，其截面是一个以为底，曲线为曲边的曲边梯形。由定积分的几何意义可知，截面面积为
根据平行截面面积为的立体体积的
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?关于二重积分的计算(3)第1页，共32页，星期日，2025年，2月5日一、在直角坐标系下计算二重积分则称D为X–型区域.1．先对,后对的二次积分若积分区域可以表示为当时,则的值是以为底,以为曲顶的曲顶柱体体积．第2页，共32页，星期日，2025年，2月5日任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的由第五章中“平行截面面积为已知的立体体积”的分析过程:第3页，共32页，星期日，2025年，2月5日我们常将上式写成2.先对,后对的二次积分若积分区域可以表示为则称D为Y–型区域.则其体积可按如下两次积分计算第4页，共32页，星期日，2025年，2月5日说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区
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第二节 二重积分的计算 一、利用直角坐标系计算二重积分 三、小结 * 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、小结 练习题 如果积分区域为： 其中函数 、 在区间 上连续. ［X－型］ 1、直角坐标系下二重积分的计算 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得 如果积分区域为： ［Y－型］ 解 积分区域如图 解 积分区域如图 解 原式 解 解 解 二、极坐标形式下二重积分的计算 二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图 二重积分化为二次积分的公式（２） 区域特征如图 极坐标系下区域的面积 二重积分
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*/26 微积分九② Calculation of double integral 微 积 分 电 子 教 案 三、二重积分的应用 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 ［X－型］区域D： 积分区域表示法： ［Y－型］区域D： 截面（曲边梯形）的面积 用区间[a，b]内任一点x处的截面面积： 1、积分区域为［X－型］： 1.2、直角坐标系下二重积分的计算公式 区间[x，x+dx]上对应的体积微元： 整个曲顶柱体的体积： X—型区域对应的二重积分计算公式。 二重积分的计算可以通过计算两次定积分来完成：在先进行的定积分