复合函数和隐函数的偏导数精要.ppt

第三节 复合函数和隐函数的偏导数 复习引入 内容小结 雅可比(1804 – 1851) 二元线性代数方程组解的公式 返回 上页 下页 目录 第六章 一、复合函数的偏导数 二、隐函数的偏导数 三、小结与思考练习 一元复合函数 求导法则 微分法则 多元复合函数的求导法则和微分法则 推广 一、复合函数的偏导数 定理1 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数 证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 且有链式法则 有增量△u ,△v , ( 全导数公式 ) (△t＜0 时,根式前加“–”号) 若定理中 例如: 易知: 但复合函数 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 则定理结论不一定成立. 说明: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, 设下面所涉及的函数都可微 . 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, 推广: 当它们都具有可微条件时, 有 注意: 这里 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 与 不同, 又如, 则 为简便起见 , 引入记号 f 具有二阶连续偏导数, 求 解: 令 则 例5 设 全微分形式的不变性 设函数 的全微分为 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数 都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性. 利用全微分的形式不变性，可以比较容易地得到全 微分的四则运算公式： 例如， 以上其余两个公式的证明类似. 利用全微分的形式不变性及全微分的四则运算，可使全微分的运算更简便. 解： ＝ 根据全微分的计算公式，求出du 时也就得到了u的3个 偏导数，即 1. 复合函数求导的链式法则 “分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, 2. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是因变量, 课后练习 习题6－3 本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C 0 时, 能确定隐函数; 当 C 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 二、隐函数的偏导数 定理3 设函数 则方程 单值连续函数 y = f (x) , 并有连续 (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ② ③ 满足条件 导数 两边对 x 求导 在 的某邻域内 则 解 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 定理4 两边对 x 求偏导 同样可得 则 因此, 所以, 内容小结 1. 隐函数存在定理 2. 隐函数 求导方法 方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 代公式 课后练习 习题6－3 思考练习 1. 设 求 解法1: 由d y, d z 的系数即可得 解法2： 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数. 德国数学家. 他在数学方面最主要 的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独 地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列 式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分 方程的研究中引进了“雅可比行列式”, 并应用在微积分 中. 他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微分方 程, 在分析力学, 动力学及数学物理方面也有贡献 . 他 在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派. 解: * * * *