考研高数复习习题集5请安装MATHTYPE方可显示详解.doc

例1 设，求 。 解 相当于调换矩阵的第一行与第三行的位置一次，而相当于调换矩阵的第一行与第三行的位置188次，于是，；而相当于调换的第一列与第三列的位置一次，相当于调换矩阵的第一列与第三列的位置288次，于是，所以= 。 例2 设是的特征值，求证也是的特征值，其中为可逆矩阵。 证明 由于与相似，所以与具有相同的特征值，又因为是的转置矩阵，与具有相同的特征值，从而和具有相同的特征值，因为是的特征值，所以也是的特征值。 例3 设都是阶方阵，是的特征多项式，求证可逆没有公共的特征值。 证明 设是的所有特征值，则的特征多项式 ， 于是 ， 可逆不是的特征值和没有公共的特征值。 例4 已知两阶对角矩阵的元素相同，只是排列次序不同，求证相似。 证明 不妨主对角线上只有第一、第二个元素交换了位置，其余不变，设为阶单位矩阵，调换的第一、第二行（列）后得到初等矩阵，则，即，从而，即相似，换言之，调换对角矩阵两个元素的位置，矩阵与原矩阵相似，由相似的传递性，任意调换对角线元素的位置，矩阵仍然相似。 例5 若可逆，且，求证。 证明 因为可逆，且，所以可逆，且存在可逆矩阵使得，两边取逆矩阵，得，所以。而，因所以，对分别乘，得，即，所以。 例6 设，求证存在可逆矩阵，使得。 证明 因为，所以存在可逆矩阵，使得，于是，从而，即。 例7 设，若的解不唯一，求的值。 解 因为的解不唯一，所以，于是或。 因为当时，秩，秩，所以时，无解，即； 当时，秩=秩，所以，当时，有解但解不唯一。 例8 设 ， 求和 。 解 由行列式性质，得 ， 解之，得，= 。 例9 设，秩，求应满足的关系。 解 因为秩，所以秩，，所以或，而时，秩，于是，。 例10 设阶方阵，即主对角线上方的元素全为0，下方全为1，求矩阵 。 解 因为，所以， 。 例11 已知收敛，问一定收敛吗？ 解 可能收敛，也可能发散。令，则收敛。令，尽管收敛，但是发散。 注 若绝对收敛，则可以证明不仅收敛，而且绝对收敛。 例12 已知，求证数列收敛。 证明 方法一 显然对于任意，有，于是数列有界。容易验证与均单调，所以与均收敛，设，，只要证明即可（略）。 方法二 显然对于任意，有，又 ， 所以收敛，从而收敛，故数列收敛。 例13 设条件收敛，将其中的正项保留，负项改为0，所得的级数记为，将其中的负项保留，正项改为0，所得到的级数记为，讨论与的敛散性。 解 由条件知，，因为条件收敛，所以发散，从而发散，即与均发散。 例14 求极限 。 提示 考虑左、右极限。 例15 求极限 。 提示 ， 其中介于和之间，而，只要对利用罗比塔法则即可。 例16 设，求证有小于1的正根。 证明 易知为关于的多项式，且，由罗尔中值定理，存在，使得，即有小于1的正根。 例17 设为阶方阵，为阶单位矩阵，若，则为 （1）；（2）；（3）；（4） 。 解 因为，所以，又因为，所以，即，所以，。 例18 设是3阶方阵，的特征值为1，2，3，求。 解 因为的特征值为1，2，3，所以的特征值为，且，从而的特征值为，的特征值的和为=。 例19 设，已知线性方程组有解但不唯一，求的值。 解 因为有解但不唯一，所以，得或。 当时，秩，秩，所以当时，线性方程组无解，于是。 例20 设相互独立且服从，求的分布。 解 因为相互独立且服从，所以，从而；容易验证，考虑到与均服从正态分布，所以与独立，又相互独立，于是知与独立；因为，所以，从而有，根据分布定义，有 。 例21 设单调递减，收敛，求极限 。 解 分析 只要求出与的极限。 设，，则，于是。由的单调性，所以有及；又，所以及，因收敛，有，所以。综上，知与的极限均为0，于是=0 。 例22 已知，求。 解 ，而 ， 于是 。 例23 设，则等于（ ） （1）；（2） （3）；（4）0 。 解 由对称性，在第一象限、第四象限的积分相等，在第二象限、第三象限的积分相等，但第一象限与第二象限的积分不相等，于是（1）、（3）不正确，（2）肯定正确，而被积函数恒为正，二重积分肯定大于0。应选择（2）。 例24 下列命题正确的是（ ） 若只有零解，则有唯一