等差数列典型例题及分析(必看).doc

第四章数列

§4.1等差数列的通项与求和

一、知识导学

1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.

2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….

3.通项公式：一般地，如果数列｛a｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来

n

表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

4.有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.r

5.无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列

6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.

7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．

8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝我们把

叫做ａ和ｂ的等差中项．

二、疑难知识导析

1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n｝)的函数.r

2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.r

3.数列｛an｝的前n项的和Sn与an之间的关系：an=-Sn-1

(n=1),(n≥2).

若a1适合

a(n2),则a不用分段形式表示，切不可不求a而直接求a.

nn1n

4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d=d·n+a1-d,an是关于n的

一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,a）均匀排列在一条直线上，由两点确定

n

一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.

5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为

n，若令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2+Bn.

6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，Sn，n中任意三个，可求其余两个。

三、经典例题导讲

[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.

错解：（1）a=3n+7;

n

(2)1+4+…+（3n－5）是该数列的前n项之和.

错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=10≠1,显然3n+7不是它的通项.

正解：（1）a=3n－2;

n

(2)1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.r

[例2]已知数列{a}的前n项之和为①S=2n2-n

nn

②S=n2+n+1

n

求数列{a}的通项公式。

n

错解：①a=2n2-n-2(n-1)2+(n-1)=4n-3

n

②a=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n

n

错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a＝S－S与的关系，没注意a=S.

nnn-111

正解：①当n=1时，a=S=1

11

当n≥2时，a=2n2-n-2(n-1)2+(n-1)=4n-3

n

经检验n=1时a=1也适合，:a=4n-3

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