2024_2025年高中数学第一章导数及其应用3.2函数的极值与导数二作业含解析新人教版选修2_2.doc
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利用导数探讨函数的极值
一、基础过关
1.函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得微小值的点有 ()
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列关于函数的极值的说法正确的是 ()
A．导数值为0的点肯定是函数的极值点
B．函数的微小值肯定小于它的极大值
C．函数在定义域内有一个极大值和一个微小值
D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
3．函数y＝x3－3x2－9x(－2x2)有 ()
A．极大值5，微小值－27
B．极大值5，微小值－11
C．极大值5，无微小值
D．微小值－27，无极大值
4．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处f(x)存在微小值，则 ()
A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0
B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0
C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0
D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0
5．若函数f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1处取极值，则a＝______.
6．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为____．
7．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝eq\f(x3－2,2?x－1?2)；(2)f(x)＝x2e－x.
二、实力提升
8．若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()
A．2 B．3 C．6 D．9
9．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有微小值，则实数a的取值范围是 ()
A．1a2 B．1a4
C．2a4 D．a4或a1
10.假如函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列推断：
①函数y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有微小值；
⑤当x＝－eq\f(1,2)时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述推断正确的是________．(填序号)
11．已知f(x)＝x3＋eq\f(1,2)mx2－2m2x－4(m为常数，且m0)有极大值－eq\f(5,2)，求m的值．
12．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)当a≠eq\f(2,3)时，求函数f(x)的单调区间与极值．
答案
1．A2．D3．C4．C5．3
6．9
7．解(1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
∵f′(x)＝eq\f(?x－2?2?x＋1?,2?x－1?3)，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝2.
当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状态如下表：
故当x＝－1时，函数有极大值，
并且极大值为f(－1)＝－eq\f(3,8).
(2)函数的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ex)))′
＝2xe－x－x2e－x
＝x(2－x)e－x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状态如下表：
由上表可以看出，当x＝0时，函数有微小值，且为f(0)＝0；
当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e－2.
8．D9．B10．③
11．解∵f′(x)＝3x2＋mx－2
＝(x＋m)(3x－2m
令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝eq\f(2,3)m.
当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状态如下表：
∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋eq\f(1,2)m3＋2m3－4＝－eq\f(5,2)，∴m＝1.
12．解(1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，则x＝－eq\f(1,3)或x