2024_2025年高中数学第一章导数及其应用3.1函数的单调性与导数一教案新人教版选修2_2.doc
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函数的单调性与导数
1.??教学目标
1、正确理解利用导数推断函数的单调性的原理;
2、驾驭利用导数推断函数单调性的方法。
2.??教学重点/难点
教学重点:探究并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间;
教学难点:探究函数的单调性与导数的关系。
3.??教学用具
多媒体、板书
4.??标签
??教学过程
一、温故知新、引入课题
【师】请同学们思索函数单调性的概念?
【生】思索沟通。
【板演/PPT】
函数y=f(x)在给定区间D上,D=(a,b)
当x1、x2∈D且x1<x2时
①都有f(x1)<f(x2),
则f(x)在D上是增函数;
②都有f(x1?)>f(x2),
则f(x)在D上是减函数;
若f(x)在D上是增函数或减函数,
D称为单调区间
则f(x)在D上具有严格的单调性。
【师】推断函数单调性有哪些方法?
【生】思索沟通。
【板演/PPT】
①定义法;???②图象法;???③已知函数
以前,我们主要采纳定义法去推断函数的单调性.在函数y=f(x)比较困难的状况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不简洁.?假如利用导数来推断函数的单调性就比较简洁.
让学生自由发言,老师不急于下结论,而是接着引导学生:欲知结论怎样,让我们一起来视察、研探。
【设计意图】自然进入课题内容。
二、新知探究
1、函数的单调性与其导函数的关系
【合作探究】
探究1?函数的单调性与其导函数的关系
【师】请同学们思索高台跳水运动员高度函数与速度函数之间的关系?
【板演/PPT】
下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t改变的函数
的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t改变的函数的图象.
【活动】思索沟通。
探究2:运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区分?
①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,?
②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而削减,即h(t)是减函数.相应地,
【思索】以上状况是否具有一般性呢?
视察下面函数的图像(图1.3-3),探讨函数的单调性与其导数正负的关系.
如图?1.3-3,导数f(x0)表示函数f(x)在(x0,y0)点处的切线的斜率.
【结论】一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系
在某个区间(a,b)内,
假如f(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;
假如f(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
探究3:假如在某个区间内恒有f(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内有什么特征?
【提示】特殊的,假如在某个区间内恒有f(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常函数.
探究4:求解函数y=f(x)单调区间的步骤:
(1)确定函数y=f(x)的定义域;
(2)求导数y=f(x);
(3)解不等式f(x)>0,解集在定义域内的部分为增区间;
(4)解不等式f(x)<0,解集在定义域内的部分为减区间.
2、例题讲解
例1.
已知导函数f(x)的下列信息:
当时,1<x<4,f(x)>0:;
试画出函数y=f(x)图像的大致形态.
如图1.3-4
【设计意图】让学生通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的。这是今后利用导函数探讨函数的必备技能。这里让学生切实理解,为今后学习扫清障碍!
例2.
推断下列函数的单调性,并求出单调区间.
因此,在R上单调递增,如图1.3-5(1)所示.
?、
函数的图像如图1.3-5(2)所示.
函数的图像如图1.3-5(4)所示.注:(3)、(4)生练
总结提升
依据导数确定函数的单调性步骤:
1.确定函数f(x)的定义域.
2.求出函数的导数.
3.解不等式f′(x)0,得函数单增区间;
?解不等式f′(x)0,得函数单减区间.
【设计意图】学会如何用导数求单调区间,同时再次验证用导数求导与图像求导的结果的一样性!
?例3.
如图1.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像.
分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,起先阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上,(A)符合上述改变状况.同理可知其它三种容器的状况.
解析:
思索:例3表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其改变的快慢.结合图像,你能从导数的角度说明改变快慢的状况吗?
?一般的,假如一个函数在某一范围内导数的肯定值较大,那么函数