函数值域的求法..doc

专题：综合性最值问题 ?解读考纲 1、求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法，　　 2、求几类重要函数的最值方法； （1）二次函数：配方法和函数图像相结合； （2）:均值不等式法和单调性加以选择； （3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数. 3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值) ?重点、考点精读与点拨 一、函数的最值问题 函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题.求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等. 例1：(02年全国理1) 设a为实数，， （1）讨论的奇偶性； （2）求的最小值． (1)解法一：(利用定义)＋， 若 都不成立，故不是奇函数； 若为偶函数，则，即＋此等式对 恒成立，只能是． 故时，为偶数；时，既不是奇函数也不是偶函数． 解法二：(从特殊考虑) 又，故不可能是奇函数． 若，则，为偶函数； 若，则，知，故在时，既不是奇函数又不是偶函数． （2）当时，，由二次函数图象及其性质知：若，函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为；若，函数在上的最小值为，且． 当时，函数． 若，函数在上的最小值为，且； 若，函数在上单调递增，从而函数函数在上的最小值为． 综上所述，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值是． 演变1：（05年上海）已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,( 、分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x2－x－6． (1)k、b的值; (2)当x满足f(x) g(x)时,求函数的最小值． f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a． （I）求f(x)的单调递减区间； （II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 二、三角函数、数列、解析几何中的最值问题 将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解． 例2：（05年上海）点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，． （1）求点P的坐标； （2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值． 　 解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(4,0) 设点P(,),则={+6, },={－4, },由已知可得 ，则2+9－18=0, 解得　=或=－6． 0,只能=,于是=． P的坐标是(,) (2) 直线AP的方程是－+6=0． M(,0),则M到直线AP的距离是． =,又－6≤≤6,解得=2． (,)到点M的距离有 , 由于－6≤≤6, ∴当=时,d取得最小值 演变3：（05年辽宁）如图，在直径为１的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中． (Ⅰ) 将十字形的面积表示为的函数； (Ⅱ) 为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？ 三、最值的实际应用 在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值． 例3：（06年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 解：设OO1为，则 由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：） 故底面正六边形的面积为：=，（单位：） 帐篷的体积为： （单位：） 求导得． 令，解得（不合题意，舍去），， 当时，，为增函数； 当时，，为减函数． ∴当时，最大． 答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为． 演变4．（05年湖南）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择．方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为．设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是．用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度． （1）分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小． （2）若采用方案乙，当为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响． 点拨与提示：设初次与第二次清洗的用水量分别为与，， 于是+，利用均值不等式求最值． 四、恒成立问题 不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f(x)＞m恒成立，即＞m；f(x)m恒成立