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函数值域求法的应用 宣汉县第二中学 杜林 对于函数的三要素之定义域和值域这两大要素，我们要有解决它们的办法。在上一篇文章中，我们已经学习了函数定义域的求法；下面我们来学习求函数值域的几种常见方法 1．直接法：先掌握常见函数的值域情况，然后通过常见函数的复合来求解值域。 一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}； 二次函数的定义域为R， 当a0时，值域为{}；当a0时，值域为{}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1x1) ② ③ ④ 解：①∵-1x1，∴-33x3， ∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5] ②∵ ∴ 即函数的值域是 { y| y2} ③ ∵ ∴ 即函数的值域是 { y| y(R且y(1}（此法亦称分离常数法） ④当x0，∴=， 当x0时，=－ ∴值域是[2，+).（此法也称为配方法） 函数的图像为： 2．二次函数各区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①； ②； ③； ④； 解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R， ∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }. ②∵顶点横坐标2[3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1]. ④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数, ⑴若定义域为R时， ①当a0时，则当时，其最小值； ②当a0时，则当时，其最大值. ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若[a,b],则是函数的最小值（a0）时或最大值（a0）的大小决定函数的最大（小）值. ②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值. 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）： 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数的值域 方法一：去分母得 (y(1)+(y+5)x(6y(6=0 ① 当 y(1时 ∵x(R ∴△=(y+5)+4(y(1)×6(y+1)0 由此得 (5y+1)0 检验 时 （代入①求根） ∵2 ( 定义域 { x| x(2且 x(3} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y(1 综上所述，函数的值域为 { y| y(1且 y(} 方法二：把已知函数化为函数 (x(2) 由此可得 y(1 ∵ x=2时 即 ∴函数的值域为 { y| y(1且 y(} 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法 例4．求函数的值域 解：设 则 t0 x=1( 代入得 ∵t0 ∴y4 5．分段函数 例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}. 解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+]. 如图 两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法. 说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，我们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法。