伯恩思坦多项式与Bezier曲线.doc

伯恩思坦多项式与Bezier曲线 一、引言 1971年法国雷诺汽车公司的工程师Bezier 提出了一种新的参数曲线表示法。这种方法能方便地控制输入参数(控制点)以改变曲线的形状。被称为Bezier曲线，数学原理使用了伯恩思坦多项式。设f(x)是定义在[0，1]上的连续函数， 称表达式 右端为函数的伯恩思坦逼近多项式。 下面是函数的伯恩思坦多项式逼近实验程序 n=input(input n=); x=[0:n]/n; f=sin(x*pi); for i=1:n+1 y=f;t=x(i); for k=n:-1:1 for j=1:k y(j)=t*y(j)+(1-t)*y(j+1); end end p(i)=y(1); end max(abs(f-p)) plot(x,f,b,x,p,o,x,p,r) 下面两图分别是取不同点数的伯恩思坦多项式逼近。 n=10逼近 n=20逼近 二、Bezier曲线 Bezier 曲线的形状是通过一组多边折线(控制多边形)的各顶点P0，P1，…，Pm所定义出来的。在多边折线的各顶点中，只有第一点P0和最后一点Pm在曲线上，其余的点则用以定义曲线的阶次。 给定控制多边形顶点P0，P1，…，Pm 的坐标 (x0，y0)，(x1，y1)，……，(xm，ym) 曲线参数方程为 ， 其中， 为组合数，其计算公式为 在工程实际中，人们常用矢量函数的形式来表示平面曲线，若记 ， (k = 0，1，…，m) 则有数学表达式 作为特殊情形，下面分别给出 m = 1，2，3时的Bezier曲线数学表达式。 1、一次Bezier 曲线是通过平面上两点的直线段，其数学表达式为 ，（） 2、 二次Bezier 曲线是由平面上三个点组成控制多边形，并由此确定的抛物线。数学表达式为 3、三次Bezier 曲线是由平面上四个点组成控制多边形，并由此所确定的三次曲线。数学表达式为 绘制曲线的算法常用加权平均法。这一算法的根据是组合数计算中常用的递推公式 以二次Bezier 曲线为例说明原理，由于 由于 (1－t) 和 t都是介于 0 和 1 之间的数，所以认为是加权平均的权值。给定三个点P0(x0，y0)、P1(x1，y1)、P2(x2，y2)作为控制多边形顶点后，二次Bezier 曲线上对应于参数 t 的点P(t)的坐标可用如下方法计算 （1）取点坐标的加权平均得的坐标 （2）取点的坐标的加权平均计算的坐标 图4-5 （3）取点的坐标的加权平均计算P(t)的坐标 曲线的矩阵表示算法 由于控制多边形各顶点的坐标可表示为矩阵形式的数据结构，借用矩阵的表示也可以实现算法。仍以计算二次Bezier 曲线上对应于的11个点的坐标数据为例说明算法原理。由于二次Bezier 曲线的数学表达式可以写作矩阵形式 我们希望最后所得的曲线上11个点的坐标数据以11×2的矩阵形式给出，以第一列表示X坐标，以第二列表示Y的坐标。由上式 是一个3×2矩阵(它是算法的初始输入数据)，而应该是11×3矩阵。 三、应用 例1、飞机机翼图设计。利用贝塞尔曲线设计机翼剖面图，提取曲线数据，绘制机翼柱面图 MATLAB程序： p=[0 0;0.01 0.5;0.5 1;2 0]; %输入控制多边形顶点 n=10; t=(0:n)/n;t1=1-t; z=[t1.^3 3*t.*t1.^2 3*t1.*t.^2 t.^3]*p; %矩阵法计算曲线坐标数据 px=p(:,1);py=p(:,2); %提取控制多边形顶点坐标 x=z(:,1);y=z(:,2); %提取曲线坐标 figure(1),plot(px,py,px,py,o,x,y) %绘机翼剖面图 x=[x(n+1:-1:2);x]; %利用对称性扩充曲线坐标 y=[y(n+1:-1:2);-y]; E=ones(1,11);X=x*E;Y=y*E; %制做柱面坐标数据 Z=ones(2*n+1,1)*[0:10]; figure(2),mesh(Z,X,Y),hold on