一轮复习配套讲义：第8篇第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

第 4 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 [ 最新考纲 ] 1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的 方程判断两圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想 . 知识梳理 1．直线与圆的位置关系 设直线 l：Ax＋By＋ C＝ 0(A2＋B2≠0)， 圆： (x－a)2＋(y－b)2＝ r 2(r＞0)， d 为圆心 (a， b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次 方程的判别式为 . 方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d＜r ＞0 相切 d＝r ＝0 相离 d＞r ＜0 圆与圆的位置关系 设圆 O1：(x－a1)2＋(y－ b1)2＝r 21(r 1＞ 0)， 2： (x－a2 2 ＋(y－b2 2 2 2＞0). 圆 O ) ＝ r2 (r ) 方法 几何法：圆心距 d 与 r 1，r 2 的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的 系 相离 d＞r 1＋r 2 无解 外切 d＝r 1＋r 2 一组实数解 相交 |r1－r 2 ＜ ＜ 1＋r 2 两组不同的实数解 | d r 内切 d＝ |r 1－r 2 1≠r 2 一组实数解 |(r ) 内含 0≤d＜|r 1－r 2 |(r 1≠r 2 无解 ) 辨析感悟 1．对直线与圆位置关系的理解 (1)直线 y＝ kx＋1 与圆 x2＋y2＝ 1 恒有公共点． (√) (2)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的必要不充分条件． (×) (3)(教材习题改编 )直线 y＝2x＋3 被圆 x2＋y2－ 6x－8y＝ 0 所截得 的 弦 长 等 于 2 5.(× ) 2．对圆与圆位置关系的理解 (4)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． (×) (5)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． (×) 3．关于圆的切线与公共弦 (6)过圆 O：x2＋y2＝ r2 上一点 P(x0， y0 )的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝ r2.(√) (7)两个相交圆的方程相减消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所 在的直线方程． (√ ) (8)圆 C1：x2＋y2＋2x＋2y－ 2＝ 0 与圆 C2：x2＋y2－4x－2y＋ 1＝0 的公切线有且仅 有 2 条．(√) [感悟·提升] 1．两个防范 一是应用圆的性质求圆的弦长，注意弦长的一半、弦心距和圆的 半径构成一个直角三角形，有的同学往往漏掉了 2 倍，如 (3)； 二是在判断两圆位置关系时，考虑要全面，防止漏解，如 (4)、(5)，(4)应为两圆 外切与内切， (5)应为两圆相交、内切、内含． 2．两个重要结论 一是两圆的位置关系与公切线的条数： ①内含时： 0 条；②内切： 1 条；③相交： 2 条；④外切： 3 条；⑤外离： 4 条．二是当两圆相交时，把两圆方程 (x2，y2 项系数相同 )相减便可得两圆公共弦所在 直线的方程 . 考点一 直线与圆的位置关系 【例 1】 (1)已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋ y2 ＝1 外，则直线 ax＋ by＝1 与圆 O 的 位置关系是 ( )． A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 (2)(2013 山·东卷 )过点 (3,1)作圆 (x－ 1)2＋ y2＝1 的两条切线， 切点分别为 A，B，则 直线 AB 的方程为 ( )． A ． 2x＋y－3＝ 0 B．2x－ y－ 3＝ 0  C．4x－y－ 3＝0  D． 4x＋ y－3 ＝ 0 解析 (1)因为 M(a，b)在圆 O：x2＋ y2 ＝1 外，所以 a2＋b2＞1，而圆心 O 到直线 ax＋ by＝1 的距离 d＝ |a·0＋b·0－1| 1 22 ＝ 2 2＜1.故直线与圆 O 相交． a ＋b a ＋ b 1－0 1 (2)如图，圆心坐标为 C(1,0)，易知 A(1,1)，又 kAB·kPC＝－ 1，且 kPC＝ ＝ ， kAB＝－ 2. 故直线 AB 的方程为 y－1＝－ 2(x－1)，即 2x＋y－ 3＝ 0. 答案 (1)B (2)A 规律方法 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表 达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用 代数法． 【训练 1】 (1)“ a＝3”是“直线 y＝x＋ 4 与圆 (x－ a)2＋ (y－3)2 ＝8 相切”的 ( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3 2 2 (2)(2014 郑·州模拟 )直线 y＝－ 3 x＋m 与圆 x ＋ y ＝1 在第一象限内有两个不同的 交