积分判别法若在[1,∞)上f减,非负,则∑f(n)收敛收敛.doc

积分判别法 若在[1,∞)上f减, 非负, 则∑f (n)收敛(收敛. 此时≤∑f (n)≤ + f (1). 证 ≤f (1) = f (1), ≤f (2)≤, … ,≤f (n)≤, 相加得≤ ≤+ f (1). 令n→∞得证. 注. 条件可改为x充分大时f减, 非负. 例1(p级数)∑当且仅当p 1时收敛. 证一. p 0时用积分判别法; p≤0时由必要条件. 证二 p≤1时由n(p≥n(1得发散, p1时用积分判别法. *证三 p≤1时由n(p≥n(1得发散. p 1时按下列方法加括号: 括号内的项数依次为1, 2, 4, 8, 16, …, 则由, … 及比较判别法知 加括号后的级数收敛, 故p级数也收敛. △, … . 备考. 设f (x) = (x ln px)(1 (x≥2), 则p≥0时显然f减. 而p 0时对充分大的x, f仍减[p 0时f (x) = ( (x ln px)(2 ln p(1x (ln x + p) 0 (x e (p), 故可直接应用积分判别法得∑(n ln pn)(1当p 1时收敛, p≤1时发散. △∑. △.△.△∑sin (~). △∑ (=→0, 或或). △∑(→0). △∑(a0) (=, 或=→0). △∑(→或→(上 册p.40.4(5)). △∑(= (1 +)n1). △∑(或→∞). △∑(→∞). △∑(p≤1时→∞,发散; p1时取q使pq1,, 则→0或an≤n(q, 收敛). △∑(( 1) (a 1) (由→ln a (x→0)知( 1 = O(). p.16.1 (9)类似). *△∑ (≤). *△∑(∵→0(x→ ∞), ∴n充分大时(ln n) ln ln n= exp(ln ln n)2 e ln n = n, 发散). 例2. 证明: 若an 0, ∑an收敛, 则∑与∑an an+1收敛. [与∑an比较]. 例3(p.16.9(4). 考察的收敛性. 解 设f (x) = x (ln x)p (ln ln x) q, 则f (x) = ln p(1 x (ln ln x) q(1((ln x + p) ln ln x + q ), x充分大时(p, q , f (x) 0, 故可用积分判别法. . p1时取r使pr1, 由u r→0知I收敛. p=1时I =, 当且仅当q1时收敛. p1时由u →∞, I发散. 由积分判别法, 所给级数当p 1或p=1, q 1时收敛, 在其它情形发散. *例4 (p.16.10) an↓, 非负, 则∑an收敛(∑2m(=2a2 + 4a4 + …)收敛. 证 设∑2 m= s. 因为= a1 + a2 + … += a1 + (a2 + a3 ) + (a4 + … + a7 ) + … + (≤a1 + 2a2 + 4a4 + … = a1 + s, 故(n sn ≤a1 + s, 由收敛原理 得∑an收敛. 设∑an = s, 则由a 2 ( a 1 + a 2 , 2 a 4 ( a 3 + a 4等得( (a1 + a2 ) + (a3 + a4 ) + (a 5 + …+ a 8 ) + … = s. 因此∑2m的部分和有界, 从而收敛. 应用: ∑收敛(∑2m=∑2(1(p)m收敛(21(p 1(p 1 . ∑收敛(p1. *例5 (Raabe判别法) 若lim n (1 () = l , 则l 1时∑an收敛, l 1时∑an发散, l = 1时不定. 证 l1时取p使l p1,则n充分大时n (1()p,1(. 由比较法, 收敛. l1时对充分大的n有n (1 ()1, 1(