2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷.doc

2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2015年7月4日上午9:00—11:30） 题号 一 二 总分 9 10 11 12 得分 评卷人复核人 注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器．一、填空题每题8分共64分函数的最小值是 ． 设数列的通项公式是 ． 设平面向量满足则的取值范围是设是定义域为周期的奇函数并且则在中至少有 个零点． 设为实数且关于的方程有实根则的取值范围是 6.给定定点动点满足线段的垂直平分线与抛物线相切则的轨迹方程是 7.设为复数其中是实数是虚数单位其满足的虚部和的实部均非负则满足条件的复平面上的点集所构成区域的面积是 8.设是正整数把男女乒乓球选手各人配成男双、女双、混双各对每位选手均不兼项则配对方式总数是 ．二、解答题设正实数满足求证． 10 本小题满分22分 在如图所示的多面体中已知都与平面垂直,．求四面体与公共部分的体积用表示． 11 本小题满分22分 设平面四边形的四边长分别为4个连续的正整数证明：四边形的面积的最大值不是整数。 已知31位学生参加了某次考试，考试共有10道题，每位学生解出了至少6道题．求证：存在两位学生，他们解出的题目中至少有5道相同． 试题解答 一、填空题（每题8分，共64分） 当时, 因此单调减；当时，此时亦单调减；当时，，. 令得 因此在处取得最小值 2.设．方程有实根双曲线与圆有公共交点. 注意到圆的圆心位于直线之上只须找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可. 易计算得，圆与双曲线切于A 1,1 点时，圆心坐标为或.圆与双曲线切于点时圆心坐标为或. 因此的取值范围为． 由和，可得．故． ．．以上等号均可取到．故的取值范围是． 由题设可知令得另一方面， 类似地， 因此，在中的零点一定包含这11个零点． 设的垂直平分线与抛物线相切于，切向为. 则的方程为．设由与垂直且中点在上可得 ． 由解得，代入得的轨迹方程为 ，． 等价于 又由于故满足条件的点集构成了圆的一部分计算得其面积为． 8从名男选手中选取人作为男双选手有种选法把他们配成对男双选手有种配对方式女选手类似把个男选手和个女选手配成对混双有种配对方式因此配对方式总数是． 解答题（第9题20分，第10━12题每题22分，共86分） 9.证明对任意由均值不等式有 因此． 同理对于任意因此，． 推得 【方法二:】 所以，，同理 所以， 【方法三:】因为 所以 所以, 【方法四:】先证,方法同方法三的后面,再用均值不等式 10.设则四面体是与的公共部分． 到平面的距离， 到直线的距离，． 因此，． 不妨设是凸四边形，其面积为S．记。由， 可得 ， 两遍平方和得 等号成立当且仅当，即四点共圆 现根据假设为四个连续整数 由此 . 显然 因此，不是整数 12.证明：设是所有试题的集合是第位学生解出的试题的集合．题目即证存在使得． 不妨设．共有个三元子集，每个恰包含4个三元子集．因此，存在使得包含相同的三元子集，．---（15分）从而，．