全国高中数学联赛heilongjiang初赛试题,2013.doc

全国高中数学联赛heilongjiang初赛试题,2013 篇一：14. 2013年全国高中数学联赛黑龙江预赛 预赛试题集锦（2014） 2013年全国高中数学联赛黑龙江省预赛 高中竞赛 一．选择题（每小题5分，共60分） x ????1?? 1. 已知全集U?R，集合N??x??≤1?，M?xx2?6x?8≤0，则图中阴影部分所表示的集 ????2?? ?? 合为（）． （A）xx≤0 ?? （B）x2≤x≤4 （D）x0≤x＜2或x＞4 ?? （C）x0＜x≤2或x≥4 2. ???? i为虚数单位，则i?i?i3?i4???i2013?（）． （A）i （B）?i （C）0 （D）1 3. 命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（）． （A）所有实数的平方都不是正数 （B）有的实数的平方是正数 （C）至少有一个实数的平方不是正数 （D）至少有一个实数的平方是正数 4. 直线l过抛物线C:x2?4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）． （A） 4 3 （B）2 8（C） 3 （D 5. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能 分到同一个班，则不同的分法的种数为（）． （A）24 （B）30 （C）36 （D）81 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（）． （A）4? 5π 2 （B）4? 3π 2 （C）4? π 2 （D）4?π 正视图 1 侧视图 俯视图 思维的发掘 能力的飞跃 1 高中竞赛 预赛试题集锦（2014） 7. 已知实数x?[1，9]，执行如右图所示的流程图， 则输出的x不小于55的概率为（）． 1 （A） 3（B） 2 3 8（C） 35（D） 8 8. 定义在R上的函数f(x)在(??，2)上是增函数， 且f(x?2)的图像关于y轴对称，则（）． （A）f(?1)＜f(3) （B）f(0)＞f(3) （C）f(?1)?f(3) （D）f(0)?f(3) 9. 化简 sin4? ． ?（） ππ????4sin2????tan???? ?4??4? （A）cos2?（B）sin2?（C）cos?（D）sin? x2y2 10. 设F1F2分别是双曲线2?2?1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使 ab ??????????????????????? ． (OP?OF2)?F2P?0，O 为坐标原点，且PF1?PF2，则该双曲线的离心率为（） （A （B 1 （C （D 11. 在直三棱柱A1B1C1?ABC中，?BAC? π ，AB?AC?AA1?1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中2 点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）．若GD?EF，则线段DF的长度的取值范围为（）． ? 1? （A ）? ?1? （B）?，2? ?5? （C ）??1 （D ）12. 已知正项等比数列?an?满足a7?a6?2a5，若存在两项an、a m?4a1，则 为（）． （A） 14 ?的最小值mn 25 3 （B） 25 6 5（C） 3 （D） 3 2 二．填空题（每小题5分，共20分） 2 思维的发掘 能力的飞跃 预赛试题集锦（2014） 高中竞赛 ?x?y?2≤0，?y 13. 已知变量x，y满足约束条件?x≥1，则取值范围是_______． x?x?y?70， ≤? a?2?，不等式14. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)?x2．若对任意的x??a， f(x?a)≥2f(x)恒成立，则实数a取值范围是_______． ????????????????????????????C?AOB?AOC?30?15. 已知OA?1，OB?3，OA?OB?0，点在内，且，设OC?mOA?nOB (m，n?R)，则 m ?_______． n 16. 若正方形ABCD的一条边在直线y?2x?17上，另外两个顶点在抛物线y?x2上，则该正方形面积 的最小值为_______． 三．填空题（共6小题，共70分） 17. （10 分）已知函数f(x)? 1 2x?cos2x?，x?R． 2 ?π5π? （1）当x????时，求函数f(x)的最小值和最大值； ?1212? （2）设△ABC的内角A、B、C的对应边分别为a、b、c， 且c?，f(c)?0，若向量 ???m?(1，sinA)与向量n?(2，sinB)共线，求a、b的值． 118. （12分）如图，在正△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且AD?3 相交于点F． （1）求证：A、E、F、D四点共圆； （2）若正△ABC的边长为2，求A、E、F、D所在圆的半径． E C D A ，AE? 2 BD、CEAB， 3 且n?N