2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析模板.doc

1 - 7- 高一数学竞赛训练试题（7） 一、填空题(每小题7分，共70分) 1. 如果实数m，n，x，y满足，，其中a，b为常数，那么mx+ny的最大值为____________ 2. 设为指数函数. 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，四点中，函数 与其反函数的图像的公共点只可能是点_______ 1 2 0.5 1 3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为_________ 4.如果的三个内角的余弦值分别是的三个内角的正弦值，那么下列命题正确的是_________ ①与都是锐角三角形 ②是锐角三角形，是钝角三角形 ③是钝角三角形，是锐角三角形 ④与都是钝角三角形 5. 求10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)的值为___________． 6. 设集合，其中符号表示不大于x的最大整数，则 A∩B＝________ . 7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是_________ (结果要求写成既约 分数）. 8. 已知点O在内部，.的面积之比为_____________. 9. 内接于单位圆，三个内角的平分线延长后分别交此圆于点，则的值为____________． 10. 在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 = ________ . 二、解答题（本题满分80分，各小题分别为15分、15分、25分、25分） 11. 已知函数在时有最大值1，，并且时，的取值范围为. 试求m，n的值. 12. 求常数c，使得 f(x)＝ arc tan eq \f(2－2x,1＋4x)＋c在区间(- eq \f(1,4)， eq \f(1,4))内是奇函数． 13. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且 其中A,B为常数． （1）求A与B的值； （2）证明数列{an}为等差数列．(2005年江苏卷) 14. 能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明。 （1）2,4,6,8,12,18,24,36,48； （2）2,4,6,8,12,18,24,36,72. 高一数学竞赛训练试题（7） 一、填空题(每小题7分，共70分) 1. 如果实数m，n，x，y满足，，其中a，b为常数，那么mx+ny的最大值为____________ 解 由柯西不等式；或三角换元即可得到 ，当，时，. 2. 设为指数函数. 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，四点中，函数 与其反函数的图像的公共点只可能是点_______ 解取，把坐标代入检验，，而，∴公共点只可能是N. 1 2 0.5 1 3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为_________ 解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的，，，则. 4.如果的三个内角的余弦值分别是的三个内角的正弦值，那么下列命题正确的是_________ ①与都是锐角三角形 ②是锐角三角形，是钝角三角形 ③是钝角三角形，是锐角三角形 ④与都是钝角三角形 解 两个三角形的内角不能有直角；的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若是锐角三角形，则不妨设 cos=sin=cos， cos=sin=cos， cos=sin=cos. 则，，， 即 ，矛盾. 选② 5. 求10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)的值为___________． 解：设 arccot3＝?，arccot7＝?，arccot13＝?，arccot21＝?，则0???? eq \f(p,4)． ∴ tan?＝ eq \f(1,3)，tan?＝ eq \f(1,7)，tan?＝ eq \f(1,13)，tan?＝ eq \f(1,21)， ∴ tan(?＋?)＝ eq \f(tan?＋tan?,1－tan?tan?)＝ eq \f(\f(1,3)＋\f(1,7),1－\f(1,3)?\f(1,7))＝ eq \f(10,20)＝ eq \f(1,2)． tan(?＋?)＝ eq \f(tan?＋tan?,1－tan?tan?) ＝ eq \f(\f(1,13)＋\f(1,21),1－\f(1,13)?\f(1,21))＝ eq \f(1,8) ． tan(?＋?＋?＋?)＝ eq \f(\f(1,2) ＋\f(1,8),1－\f(1,2) ?\f(1,8))＝ eq \f(2