2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析模板.doc

高一数学竞赛训练试题（2） 一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分． 1．设方程的根大于，且小于，则实数的范围是 ． 2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 ． 3．设实数，满足x2-4x+y2+3＝0，则的最大值与最小值之差是 ． 4．若存在正实数，满足（是虚数单位，），则的最小值是 ． 5．若三角形的三边，，成等差数列，则的取值范围是 ． 6．若数列满足，（），则满足条件的的所有可能值之积是 ． 7．已知，则 ． 8．设，，且满足，则的最大值为 ． 9．复数z1，z2满足|z1|＝3，|z2|＝5，|z1+z2|＝6，则|z1-z2| ＝___________ 10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 ． 二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分． 11．在中，分别是角的对边，设．求的值． 12．如图，梯形中，、关于对角线对称的点分别是、，、关于对角线对称的点分别是、．证明：四边形是梯形． 13．设关于x的一元二次方程2x2－tx－2＝0的两个根为(、(，(t为实数，(()． ⑴ 若x1，x2为区间[(，(]上的两个不同点，求证：4x1x2－t(x1＋x2)－40； ⑵ 设f(x)＝，f(x)在区间[(，(]上的最大值与最小值分别为fmax与fmin，g(t)＝fmax－fmin，求g(t)的最小值． 11．在中，分别是角的对边，设．求的值． 分析　化角为边转化为三角关系处理． 解　由正弦定理及角变换求解．由， 得　．再由三角形内角和定理及得 ， 所以　， ， 又，代入到中得 ，由得， 从而，所以． 13．设关于x的一元二次方程2x2－tx－2＝0的两个根为(、(，(t为实数，(()． ⑴ 若x1，x2为区间[(，(]上的两个不同点，求证：4x1x2－t(x1＋x2)－40； ⑵ 设f(x)＝，f(x)在区间[(，(]上的最大值与最小值分别为fmax与fmin，g(t)＝fmax－fmin，求g(t)的最小值．湖南省2002年高中数学竞赛解 ⑴(x)=2x2－tx－2．由于(x1，x2(，故2x12－tx1－20，2x22－tx2－20， 两式相加得2(x12＋x22)－t(x1＋x2)－40．又4x1x2≤2(x12＋x22)． 4x1x2－t(x1＋x2)－4≤2(x12＋x22)－t(x1＋x2)－40． ⑵ 由已知2x2－2＝tx，2x2＋2＝tx＋40对于t≠0，及tx＋40，f(x)＝(4－)．此时f(x)单调增． fmax＝f(()，fmin＝f(()． g(t)＝f(()－f(()＝－ ) =() ＝2((－()＝，对于t＝0，此结果也成立． g(t)的最小值4．