2012年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析模板.doc

高一数学竞赛训练试题（1） 1. 当时,函数的最大值为_______ 2. 在△ABC中 ,已知,则AC=_____ 3.从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取 3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率是_______ 4. 已知,方程的一个实数根是,则的值为______ 5.方程sin2x-12(sinx-cosx)+12＝0的解集为：___________________ 6. 设为正实数, ，则的取值范围是_________ 7. 若复数z满足z+∈R，且|z-2|＝2，则复数z＝____________ 8.已知等差数列和等比数列满足: ，，，，则________ 9. 将27，37，47，48，55，71，75这 7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数则这样的排法有____ 种。 10、三角形的周长为31，三边为均为整数且 ，则满足条件的三元数组的个数为________ 11、 .在ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明： (1) ； ⑵ 12、已知为实数, ，函数，若 (1)求实数； (2)求函数的单调区间； (3)若实数满足,求证： 13. 如图,半径为1的圆O 上有一定点M, A为圆O 上动点，在射线OM上有一动点B， AB=1，OB1。线段AB交圆O于另一点C，D为线段OB的中点，求线段CD长的取值范围。 14. 设是正整数，是方程的两根，证明：存在边长是正整数且面积为的直角三角形。 2012年全国高中数学联赛江苏赛区试题解析 1. 当时,函数的最大值为_______ 解：设 ，，，，根据的单调性结合绝对值的性质知的最大值为18 评析：本题主要考查导数与绝对值的有关知识，较基础 2. 在△ABC中 ,已知,则AC=_____ 解：， 评析：本题主要考查向量的有关概念与运算，有一定的灵活性 3.从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取 3个不同的数,这 3个数可以构成等差数列的概率是_______ 解：考虑取出三数从小到大成数列 当=1时，有3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8四组 当=2时，有3，5，7；4，6，8两组，所以有6种情形， 从6个元素中随机选取 3个不同的元素共有种情形，故概率为 评析：本题以集合与数列为载体，考查排列组合与概率的知识，本题数据较小，可用枚举法处理，体现文理科学生的公平性 4. 已知,方程的一个实数根是,则的值为______ 解：即 = 评析：本题全面考查复数的概念与运算和方程等知识 5.方程sin2x-12(sinx-cosx)+12＝0的解集为：___________________ 解：令sinx-cosx＝t(|t|≤)，则sin2x＝1-t2，原方程即1-t2-12t+12＝0，即t2+12t-13＝0,解得t＝-13（舍）,或t＝1，即sinx-cosx＝1，即sin（x-）＝，故x＝kπ+(-1)k+(k∈Z) 6. 设为正实数, ，则的取值范围是_________ 解：两边取对数得 ，即的取值范围是 评析：本题考查指对数运算等知识，较为基础，考查学生的灵活性 7. 若复数z满足z+∈R，且|z-2|＝2，则复数z＝____________ 解：∵z+∈R，∴z+＝，整理得(z-)(|z|2-4)＝0 若z＝，则结合|z-2|＝2，得z＝4或0(舍)； 若|z|＝2，结合|z-2|＝2，得z＝1±i 故z＝4或1±i 8.已知等差数列和等比数列满足: ，，，，则________ 解：设公差为d，公比为q，则 （4）-（3）得=20 ， （3）-（2）得 （5） （1）+（4）得，（2）+（3）得 两式相减得，（6） 得 ， 评析：本题以等差、等比数列为载体，全面考查学生解方程组和代数推理等运算能力，本题运算要求较高 9. 将27，37，47，48，55，71，75这 7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数则这样的排法有____ 种。 解：将7个数分成3类： （1）3的数为 27，48，75，有3个 （2）3-1的数为47，71，有2个 （3）3+1的数为37，55，有2个 要使排列的一列数中任意的四个数之和为3的倍数，则7个位置上第1位和第5位应排同一类数，第2和第6位排同一类数，第3和第7位排同一类数，且第4位必排第（1）类共有3种排法，三类数排到三类位置共有种，每一类位置各有种排法，故共有种排法。 评析：本题是一个排列组合与数论结合的问题，重点考查学生利用数论中剩余类思想和分类讨论的能力，要求较高，有较好的区分度。 10、三角形的周长为31，三边为均为整数且 ，则满足条件的三元数组的个数为________ 解： 的取值为11，12，13，14，15 当=11时，的取值为（9，11）（