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2014全国高中数学联赛贵州省初赛试题 本卷考试时间：分钟 满分：分 一、填空题：本大题共小题，每小题分，共分。 1．中，已知，若，则 . 2．桌面上放着个半径为的球，两两相切，在它上方的空隙里放入一个球使其顶点（最高处）恰巧和个球的顶点在同一平面上，则该球的半径等于 . 3.已知函数（且），则 . . 某种电路开关闭合后，会出现闪动的红灯或绿灯.已知开关第一次闭合，出现红灯和出现绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是.则开关第3次闭合后出现红灯的概率是 . 5. 已知则取值范围是 . 6.已知，则函数的最小值是 . 7.已知函数与的图象有且只有三个交点，则实数的取值范围 . 8.对任意，任意，都有恒成立（注：为自然对数的底数），则实数的取值范围 . 二、填空题：本大题共小题，共分。 9. （本小题满分分） 已知数列中，，且． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列的前项和为，求证：． 10. （本小题满分分） 已知函数.若实数使得有实根，的最小值11. （本小题满分分） 已知椭圆的离心率为、分别为其左、右焦点，其右焦点到点的距离为 一动圆过点，且与相切，记动圆圆心的轨迹为G. （Ⅰ）在有两点上有两点满足，，且求四边形PMQN面积的最小值． A，B．问在直线上是否存在点D，使得是与无关的常数？ 参考答案 1.解：依题意，有 ，即 由正弦定理，得 ，即 又， 所以 故. 2.解：显然，开始的个球的球心位于边长为的正三角形的顶点处. 若在上方空隙里放入半径为的小球，与它们相切，则其球心位于一正三棱锥的顶点，侧棱长为.于是该三棱锥的高满足 = 根据题意，得 解得 3.解：依题意得的定义域为，且. 则. 故. 4.解: 开关第1次闭合后出现红灯的概率是 开关第2次闭合后出现红灯的概率是 所以， 开关第3次闭合后出现红灯的概率是 5.解：显然，所求代数式的最小值为，当且仅当时取到. 当时，. 于是. 同理：，. 以上三式相加即得 . 6.解：设，使 所以， 由，则 所以， 又令，则 所以，当，即时， 函数的最小值是 7.解： 令 在上单调递增，在上单调递减 当时，有，且 ， 由 所以， 8.解： 又 由对任意，任意，都有恒成立 即任意，恒成立 也即是任意，恒成立 令 所以， 即 所以， 9.解：（Ⅰ）由得 所以数列是一个以为首项，为公比的等比数列 故，即 （Ⅱ） 所以由柯西不等式得 10.解：将改写为： . 令 设为直线（1）. 又设原点到直线（1）的距离为，那么 再令上增，故 .也就是的最小值为 所以，椭圆 又焦点 则动圆过点，且与相切的圆心的轨迹方程G： 设直线的倾斜角为， 则直线的倾斜角为 所以，四边形PMQN面积 当且仅当PMQN面积 （Ⅱ）假设存在点D，使得是与无关的常数 设直线 由 与联立方程组得 当 此时是与无关的常数 所以，在直线上存在点，使得是与无关的常数。 第 1 页 共 7 页