第三讲-基础微积分精要.pptx

基础微积分第三讲导数描述函数变化快慢微分学微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)基础微积分第三讲主要内容：一、导数的概念和意义二、幂函数形式下和差函数求导法则（多年经验表明，经济学综合几乎只考它！）三、高阶导数、函数凹凸性及其经济学意义四、微分的基本概念及经济学应用——弹性（计算题第一个题型）导数的概念 第一节主要内容：一、引例二、导数的定义和含义（物理sense、经济学sense）三、单侧导数四、导数的几何意义五、函数的可导性与连续性的关系一、引例1.如何求平面曲线上任意点的切线方程设M,N是曲线上的点,当N点沿曲线滑向M 点时,割线MN绕点M旋转;而当N点最终与M点重合时,割线的极限位置MT---称为曲线在点M的切线. 割线的极限位置——切线位置（翻到本小节PPT最后，迅速播放或者翻页）切线问题播放(当 时)曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T切线 MT 的斜率割线 M N 的斜率则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为2. 变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为瞬时速度切线斜率两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .把这样：在自变量的增量趋于0的过程中，函数在某一点的增量与自变量在这一点的增量之比的极限叫函数在这个点的导数 .二、导数的定义定义在 时刻的瞬时速度运动质点的位置函数曲线在 M 点处的切线斜率说明: 在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.关于导数的说明：注意:导数的物理学含义：变化率物理学sense:加速度、功率等导数的经济学含义：边际（marginal）经济学sense:边际效用、边际成本、边际产量、边际收益导数的经济学含义：边际（marginal）经济学sense:边际效用、边际成本、边际产量、边际收益导数的经济学含义：边际（marginal）经济学sense:边际效用、边际成本、边际产量、边际收益导数的经济学含义：边际（marginal）经济学sense:边际效用、边际成本、边际产量、边际收益导数的经济学含义：边际（marginal）经济学sense:边际效用、边际成本、边际产量、边际收益导数的经济学含义：边际（marginal）经济学sense:边际效用、边际成本、边际产量、边际收益由定义求导数:步骤:例1. 求函数(C 为常数) 的导数. 解:即例2. 求函数解:(为常数) 说明：对一般幂函数（以后将证明）例如，例5. 求函数的导数.解: 或即三、单侧导数1.左导数:2.右导数:★例7解四、导数的几何意义切线方程:*法线方程:若曲线过上升;曲线过下降;若若切线与 x 轴平行,称为驻点;若切线与 x 轴垂直 .五、 函数的可导性与连续性的关系定理1.证: 设在点 x 处可导,即存在 ,因此必有其中故在点 x 连续 .所以函数注意: 函数在点 x 连续未必可导.反例:在 x = 0 处连续 , 但不可导.0★连续函数不存在导数举例例如,10例如,1－1/π1/π0例如,存在在点处右导数存在在点必 右连续.在开区间 内可导,在闭区间 上可导.可导的充分必要条件在点定理2. 函数是且简写为(左)定理3. 函数(左)与且若函数都存在 ,则称显然:在闭区间 [a , b] 上可导内容小结增量比的极限;1. 导数的实质:2. 已学求导公式 :3. 导数的几何意义:切线斜率！ 导数的经济意义：边际！4. 5. 可导必连续, 但连续不一定可导;不连续, 一定不可导.6. 判断可导性直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.函数的求导法则第二节主要内容：一、函数的和、差、积、商的求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式节选：和差导数求导法则定理1.的和、差、积、商 (除分母为0的且:点外) 都在点 x 可导,此法则可推广到任意有限项的情形.(2)( C为常数 )推论:(3)( C为常数 )推论:高阶导数第三节主要内容：一、高阶导数的概念（物理sense、经济学sense）三、二阶导数与函数凹凸性二、高阶导数的运算法则一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.定义记作二阶导数的导数称为三阶导数,三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.一、高阶导数的经济学sense：经济学sense（课堂思考、板书）：1、效用函数的二阶导数是什么？意味着什么？——风险态度2、对于“一般人”而言，合理的效用函数一阶导、二阶导的正负取值应该是怎样的？3、如何在图形上描述1、2、两点？先思考，我们讲完函数凹凸性后再说！“高阶导数求法举例”1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例1解设求例2.解:可得：依次