现代数学与中学数学考试卷a卷.doc

研究生课程进修班试卷封面 姓 名： 单　　位 专 业： 数学 考试科目：现代数学与中学数学 考试分数： 2011年 12 月 25 日 东北师范大学研究生课程进修班考试试卷评分表 课程名称 现代数学与中学数学 姓 名 单　　位 专 业 数学 2011年12 月25　日 题 号 分 数 签 名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总 分 评阅教师签字： 年 月 日 现代数学与中学数学 考试卷 一、(10分) 对下列各式，判断其对错，或加以证明，或举出反例 （1） （2） 解：（1）令 则 （2）设的定义域分别为A、B、C， 对 二、（10分） 若函数在点可导，计算 （1） （2） 解：（1） （2） 三、（10分） 求一函数，其曲线过坐标原点且曲线上每一点切线斜率是该点横坐标的2倍。 解：由题意，即 ① ①式两边积分，有 又过点，从而C=0 四、（10分）证明：若，则 解：记，由于，故在上连续，在内可导。 由拉格朗日中值定理存在，有， 即，同理存在，有 又在上递减，， ，也就是： 五、（10分）求顶点在坐标原点的锥面与平面所围成的锥体的体积。 解：任取，过点作垂直于轴的平面，截面为椭圆，其方程为，截面面积 故 六、（10分） 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.3,0.6。今各投2次。求甲比乙投中次数多的概率。 解：设甲、乙两人各投篮两次，投中的次数分别为，则，。 甲比乙投中次数多的概率为0.1248。 七、（10分） 要研究某种物质致癌性质，用小白鼠做试验。假定把50只小白鼠随机地分成10组，每组5只，对每只小白鼠注射该物质，经过一段时间后，观察每组小白鼠患癌的个数，得到，则，这里就是这种物质致癌的概率。试导出的最大似然估计值的计算公式。 解：由有： 现有样本，故似然函数为 ① ①式两边取自然对数，得： 两边对求导，得： 令，解得 的最大似然估计值的计算公式为 八、（10分） 甲同学在他的盒子中放了200个玻璃球（盒子中黑球、白球究竟各有多少他并未告诉其他任何人），甲同学当众宣布：他的这些球中黑球所占比例p=3%，乙同学从甲同学的盒子中任意取若干个球（比如：10个），观察并记录取到球的颜色。该实验的结果有多种可能。（1）假如乙同学发现他任取的10个球中2个黑球，问此时乙同学能否相信甲同学的说法？（2）假如乙同学发现他任取的10个球没有黑球，问此时乙同学对甲同学的说法又应做何反应？ 解：（1）、把甲同学的说法当作一种假设，即令H0：p=3%，假定p=3%真确，这时200个球中的黑球数应为6，用我们在概率中学过的方法，来计算任取10个球中至少有2个是黑球的概率。 令表示任取10个球中恰有个黑球这一事件的概率，则 = P{“乙同学所取的10个球中无黑球”} = P{“乙同学所取的10个球中恰有一个黑球”} =0.237451 于是 1－－ = 1－0.732140－0.237451 = 0.030409。 上述结果表明，若甲同学所说的200个球中黑球所占比例为3%为真的话，则任取10个球，出现至少2个黑球的概率为0.030409。这样的抽样做100回，遇到这种情况（至少取到2个黑球）将不到4回，现在，只做一回抽样（乙同学取10个球）就遇上了这种罕见的事情，这和实际推断原理断定的结果：小概率事件在一次实验中实际上是不可能发生的，产生了矛盾，究其原因，产生这种矛盾的根源在于甲同学的说法p=3%，因此乙同学应该拒绝假设H0：p=3%，认为甲同学的200个球中黑球所占比例将远大于3%，从而拒绝甲同学的说法，认为甲同学宣称的200个球中黑球所占比例为3%不可信。 （2）、如果乙同学任取的10个球中没有黑球，全是白球的话，则乙同学只好承认甲同学宣称的200个球中黑球所占比例为3%可能是可信的。 九、（10分） 用选主元素的Gauss消元法求解 请指明消元、回代过程。 解： 做（第i个方程）+（第1个方程），。完成第一步消元得： 做第三个方程+第二个方程，完成第二步消元得： 回代求得： 所以原方程组的解为 十、（