周期性对称性+幂函数图像和性质.doc

授课类型 T 周期性与对称性 C 幂函数图像 T 幂函数性质 教学内容 周期性 1、周期函数的定义 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 显然，若T是函数的周期，则也是的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。 说明：1、周期函数定义域必是无界的。 2、周期函数不一定都有最小正周期。 推广：若，则是周期函数，是它的一个周期； ，则周期为T； 的周期为的周期为。 2、常见周期函数的函数方程： （1）函数值之和定值型，即函数 对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是特例：，则是以为周期的周期函数； （2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型 若，则得，所以函数的周期是 （3）分式型，即函数满足 由得，进而得 ，由前面的结论得的周期是 （4）递推型： （或），则的周期T= 6a（联系数列） ,则的周期T=5a； 其中，则是以为周期的周期函数。 3、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性 具有多重对称性的函数必具有周期性。即，如果一个函数有两条对称轴（或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心），则该函数必为周期函数。 相关结论如下： 结论1：两线对称型：如果定义在上的函数有两条对称轴、，即， 且，那么是周期函数，其中一个周期 结论2：两点对称型：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，即和，那么是周期函数，其中一个周期 结论3：一线一点对称型：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期 定义域为的函数满足，且为偶函数，则（ ） （A）是周期为4的周期函数 （B）是周期为8的周期函数 （C）是周期为12的周期函数 （D）不是周期函数 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 、对称性 、图象本身的对称性（自对称问题） （1）轴对称 ①的图象关于直线对称 ② 的图象关于直线对称. 特别地，函数的图像关于轴对称的充要条件是. （2） ①的图象关于点对称 。 ② 的图象关于点对称. 特别地，函数的图像关于原点对称的充要条件是. （3）对称性与周期性之间的联系 ①若函数既关于直线对称，又关于直线对称，则函数关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为；且函数为周期函数，周期； 特别地：若是偶函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数； ②若函数既关于点对称，又关于点对称，则函数关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为；且函数为周期函数，周期； ③若函数既关于直线对称，又关于点对称，则函数关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为，相邻对称轴或中心的距离为；且函数为周期函数，周期。 特别地：若是奇函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数。 1.已知函数定义域为，且对于任意实数满足，当时，，则 . 2. 已知函数），给出下列四个命题： 时，是偶函数一定存在零点； ③函数在区间上单调递减； ④当时，函数的最小值为． 那么所有真命题的序号的函数称为幂函数(为常数,)． 2常用幂函数性质及其图像 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 3 性质如下： （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 【典型例题分析】 【例1】有下列函数：，其中哪些为幂函数？ 变式练习：幂函数的图像经过点，幂函数，则下列四个函数，中，是幂函数的是_____________________ 【例2】求函数的定义域。 【例3】若的图像与坐标轴没有公共点，且关于轴对称，求的表达式。 变式练习1：函数是幂函数，求实数m的值。 变式练习2：幂函数的大致图像是如图所示的