概率统计简明教程 第八章 假设检验.doc

PAGE PAGE 272第八章 假设检验统计推断的另一个问题是假设检验，即在总体的分布未知或总体的分布形式已知但参数未知的情况下，为推断总体的某些性质，提出关于总体的某种假设，然后根据抽样得到的样本观测值，运用统计分析的方法，对所提的假设作出接受还是拒绝的决策，这一决策的过程称之为假设检验.假设检验分为参数假设检验和非参数假设检验,仅涉及总体分布的未知参数的假设检验称为参数假设检验,不同于参数假设检验的称作非参数假设检验.本章介绍假设检验的基本概念以及正态总体参数的显著性检验.§1 假设检验的基本概念假设检验的思想与方法下面我们通过例子说明假设检验的基本思想和方法.例1．1 某化肥厂用自动打包机包装化肥,其均值为100kg,根据经验知每包净重(单位: kg)服从正态分布，标准差为1 kg.某日为检验自动打包机工作是否正常,随机地抽取9包,重量如下:99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5试问这一天自动打包机工作是否正常?本例的问题是如何根据样本值来判断自动打包机是否工作正常,即要看总体均值是否为100kg.为此,我们给出假设 现用样本值来检验假设是否成立, 成立意味着自动打包机工作正常,否则认为自动打包机工作不正常.在假设检验问题中,我们把与总体有关的假设称之为统计假设,把待检验的假设称之为原假设,记为,与原假设相对应的假设称为备择假设,记为.本例中的备择假设为.用样本值来检验假设成立,称为接受(即拒绝),否则称为接受 (即拒绝).如何检验成立与否?我们知道，样本均值是的无偏估计,自然地希望用这一统计量来进行判断,在为真的条件下,的观测值应在100附近,即比较小,也就是说，要选取一个适当的常数,使得是一个小概率事件.我们称这样的小概率为显著性水平,记为.一般地,取0.10,0.05,0.01等.注意到当为真时,统计量 （1.1）对于给定的显著性水平,令 ， （1.2）于是.设统计量的观测值为,如果,则意味着概率为的小概率事件发生了,根据实际推断原理（一个小概率事件在一次试验中几乎不可能发生），我们拒绝,否则接受. 在本例中,若取=0.05, , ，因此，接受原假设,即自动打包机工作正常.从本例中可以看出, 假设检验的基本思想是：为验证原假设是否成立,我们首先假定是成立的,然后在成立的条件下,利用观测到的样本提供的信息,如果能导致一个不合理的现象出现,即一个概率很小的事件在一次试验中发生了，我们有理由认为事先的假定是不正确的, 从而拒绝，因为实际推断原理认为,一个小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的.如果没有出现不合理的现象,则样本提供的信息并不能否定事先假定的正确性, 从而我们没有理由拒绝，即接受.为了利用提供的信息,我们需要适当地构造一个统计量,称之为检验统计量，如 例1.1的检验统计量是.利用检验统计量,我们可以确定一个由小概率事件对应的检验统计量的取值范围,称这一范围为假设检验的拒绝域,记为，如例1.1的拒绝域为.当时,我们拒绝.当时, 接受.1.2 假设检验的两类错误由于假设检验是依据实际推断原理和一个样本值作出判断的,因此，所作的判断可以会出现错误.如原假设客观上是真的,我们仍有可能以的概率作出拒绝的判断,从而犯了“弃真”的错误,这种错误称为第一类错误, 犯这个错误的概率不超过给定的显著性水平,为简单起见，记. （1.3）另外，当原假设客观上是假的,由于随机性而接受,这就犯了“取伪”的错误,这种错误称为第二类错误. 犯第二类错误的概率记为，即. （1.4） 在检验一个假设时，人们总是希望犯这两类错误的概率都尽量小.但当样本容量确定后,不可能同时做到犯这两类错误的概率都很小,因此, 通常我们的做法是利用事前给定的显著性水平来限制第一类错误,力求使犯第二类错误的概率尽量小,这类假设检验称为显著性检验. 为明确起见，我们把两类错误列于表8.1中 表8.1 假设检验的两类错误 真实情况判断 成立成立拒绝犯第一类错误判断正确接受判断正确犯第二类错误1.3 假设检验的步骤 从例1.1中可以看出假设检验的一般步骤为:(1)根据实际问题提出原假设和备择假设;(2)确定检验统计量; (3)对于给定的显著性水平,并在为真的假定下利用检验统计量确定拒绝域;(4)由样本值算出检验统计量的观测值,当时，拒绝.当时, 接受. 需要说明的是：原假设和备择假设的建立主要根据具体问题来决定.通常把没有把握不能