（人教A版）数学高一上学期期中复习【第二章 一元二次函数、方程和不等式】九大题型归纳（拔尖篇）（解析版）.doc
高一上学期期中复习第二章九大题型归纳（拔尖篇）
【人教A版（2019）】
题型1
题型1
利用作差法、作商法比较大小
1．（2023秋·宁夏吴忠·高三校考阶段练习）已知M=10+12，N=
A．MN B．M=N C．MN D．不能确定
【解题思路】根据题意，结合作差比较法，即可求解.
【解答过程】因为M=10+12
则M?N=10
又因为910，所以310，所以3?100，可得3?
故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）设p=a2+a+1?1，
A．pq B．pq C．p≥q D．p≤q
【解题思路】首先配方判断p、q均大于零，然后作商即可比较大小.
【解答过程】p=a
q=a
则q
=a
故p≤q，当且仅当a=0时，取等号，
故选：D.
3．（2023·全国·高一专题练习）解决下列问题：
(1).已知a∈R，且a≠1，比较a+2与3
(2).已知a0，b0，试比较a+b与
【解题思路】利用做差法，结合配方，分解因式可得答案.
【解答过程】（1）(a+2)?
注意到a2
所以当a1时，a2+a+1a?1
当a1时，a2+a+1a?1
（2）由题意
ab+b
因为a0，b0，
所以a+b0，a
所以(a+b
所以a+b≤
4．（2023·全国·高一专题练习）试比较下列组式子的大小：
(1)x+1?x与x?
(2)M=a1+a+b1+b与N=
(3)a2?b2a
【解题思路】(1)通过比较1x+1+x与1x+
(2)通过作差法来比较M,N的大小；
(3)通过作差法或作商法比较a2?b
【解答过程】（1）解：x+1?x=
因为x+1+
所以1x+1
即x+1?
（2）解：M?N=
=a?b
因为a0，b0，所以1+a1+b0，
所以M?N≤0，
即M≤N；
（3）方法一（作差法）a
=a?b
因为ab0，所以a+b0，a?b0，2ab0，a2
所以2aba?b
所以a2
方法二（作商法）因为ab0，所以a2?b2a
所以a2
所以a2
题型2
题型2
利用不等式的性质求取值范围
1．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆中学校考开学考试）已知1≤a≤4，?1≤b≤2，则3a?b的取值范围是（????）
A．?13≤3a?b≤1 B．?1≤3a?b≤8
C．?1≤3a?b≤13 D．1≤3a?b≤13
【解题思路】由不等式的性质求出?b，3a的范围，两式相加即可得出答案．
【解答过程】因为1≤a≤4，?1≤b≤2，
所以?2≤?b≤1，3≤3a≤12，
所以1≤3a?b≤13．
故选：D.
2．（2023·全国·高一专题练习）已知实数a，b满足?3≤a+b≤?2，1≤a?b≤4，则3a?5b的取值范围是（????）
A．92,412 B．6,19
【解题思路】由3a?5b=?(a+b)+4(a?b)，再结合同向不等式的可加性求解即可.
【解答过程】因为3a?5b=?(a+b)+4(a?b)，
由?3≤a+b≤?2，所以2≤?a+b
由1≤a?b≤4，所以4≤4a?b
所以6≤3a?5b=?(a+b)+4(a?b)≤19，即3a?5b的取值范围是6,19.
故选：B.
3．（2023·全国·高一课堂例题）（1）已知1a4，2b8，试求2a+3b与a?b的取值范围；
（2）已知1a4，2b8，求ab
（3）已知?6a8，2b3，求ab
【解题思路】（1）根据不等式的基本性质进行计算；（2）先得到181b12，利用同号可乘性得到取值范围；（3）先求出1
【解答过程】（1）∵1a4，2b8，
∴22a8，63b24，
∴82a+3b32．
∵2b8，
∴?8?b?2．
又1a4，
∴1+?8a+?b
∴2a+3b的取值范围是82a+3b32，a?b的取值范围是?7a?b2．
（2）∵2b8，
∴18
又1a4，
∴1×18a×
∴ab的取值范围是1
（3）∵2b3，∴13
①当0≤a8时，0≤a
②当?6a0时，?3a
由①②得?3ab4，即a
4．（2023·全国·高一专题练习）实数a,b满足?3≤a+b≤2,?1≤a?b≤4.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求3a?2b的取值范围.
【解题思路】（1）由a=1
（2）求出3a?2b=1
【解答过程】（1）a=1
由?3≤a+b≤2，?1≤a?b≤4，则?4≤a+b
所以?2≤12a+b
故实数a的取值范围为?2,3．
（2）设3a?2b=ma+b
则m+n=3m?n=?2，解得m=
∴3a?2b=1
∵?3≤a+b≤2，?1≤a?b≤4．
∴?32≤
∴?4≤3a?2b≤11，
即3a?2b的取值范围为?4,11．
题型3
题型3
利用不等式的性质证明不等式
1．（2023·全国·高一随堂练习）已知ab0，cd0，e0，求证：ea?c
【解题思路】根据不等式性质即可证明.