7.3课时1 复数的三角表示式 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

第七章复数

7.3复数的三角表示

7.3.1复数的三角表示式

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复习导入

问题1:前面我们已经学习了复数的概念、复数的几何意义，请同学

们回忆下它们分别是什么?;

7.3课时1复数的三角表示式

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观察分析图1,能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢?

追问1:为了解决问题2,首先应研究什么?

追问2:如何用文字表述角θ呢?

追问3:你能用向量OZ的模，以及以x轴的非负半

轴为始边，以向量OZ所在射线为终边的角θ来表

示复数z吗?;

复数的三角形式

一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成

辐角

r(cosθ+isinθ)—→三角形式

模

r是复数的模；

0是以x轴的非负半轴为始边，向量oz所在射线为终边的角，

叫做复数z=a+bi的辐角.

r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式.

a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式.

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问题3:一个复数的辐角的值有多少个?

无限多个

追问1:这些辐角的值之间有什么关系呢?

相差2π的整数倍

追问2:若复数为0,它的辐角是哪个角?

复数0对应零向量，零向量的方向是任

意的，所以复数0的辐角也是任意的，而不是0.;

问题4:在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为

了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适?

0≤θ2π

追问：一个非零复数辐角的主值有多少个?

有且只有一个

我们规定在0≤02π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz,

即O≤argz2π.

例如，arg1=0,argi=2,arg(-1)=T,arg(-i)-2

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i的三角形式是：

的三角形式是：;

问题5:是三角表示式吗?说出你的理由.

复数的三角形式r(cosθ+isinθ)

例题1:判断下列复数是不是三角形式?如果不是，把它们表

示成三角形式;

例题3:分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应向量的，

并把这些复数表示成代数形式.;

问题6:两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么?两个用三

角形式表示的非零复??在什么条件下相等呢?

两个复数相等

两个复数对应的向量相等

两个向量的长度相等且方向相同

两个复数的模相等且辐角主值相等

Z?=Z21r?=r?且argz?=argz?

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问题7请根据以下问题回顾本节课的学习过程，并给出回答：

(1)复数三角表示式的基本结构特点是什么?需要注意什么?

(2)复数的代数形式与复数的三角形式如何互化?

(3)我们是如何研究复数的三角形式的?其中蕴含了哪些数学思想和方法?

(4)为什么要研究复数的三角形式?根据研究一个运算对象的基本路径，你认为接下来该研究什么?如何研究?

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1.画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式.

(1)-i;②1.

2.下列复数是不是三角形式?如果不是，把它表示成三角形式.;

课堂小结

eiπ+1=0,是数学里最令人着迷的一个关系，被称为“上帝创造的公

式”.这个恒等式将数学里最重要的几个重要数字联系到了一起：两个超越数，自然对数的底e,圆周率π;两个单位，虚数单位i和自然数的单位

1,以及被称为人类伟大发现之一的0.

事实上，eiπ+1=0是欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ中θ=π时的特例.欧拉公式有着极其重要的意义，在18世纪由著名数学家欧拉提出，它是连结复数与三角的纽带，是复变函数理论最重要的公式之一.请同学们查阅相关资料，并说明以下问题：

(1)欧拉公式与三角函数、指数函数、复数有怎样的联系?

(2)欧拉公式是怎么得到的?它是哪些知识的基础，它有什么作用?