2011-2014年卓越联盟自主招生数学试题(理科)及答案.doc

2011年卓越联盟自主招生数学试题 (1)向量a，b均为非零向量，(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a，b的夹角为 (A) (B) (C) (D) (2)已知sin2(?+?)=nsin2?，则2等于 (A) (B) (C) (D) (3)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F：FB1=1：3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为 (A) (B) (C) (D) (4)i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则的最大值为 (A)-1 (B)2- (C)+1 (D)2+ (5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为4x+y-20=0，则抛物线方程为 (A)y2=16x (B)y2=8x (C)y2=-16x (D)y2=-8x (6)在三棱锥ABC—A1B1C1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为 (A) (B) (C) (D) (7)若关于x的方程=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为( ) (A)(0，1) (B)(，1) (C)(，+∞) (D)(1，+∞) (8)如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为 (A) (B) (C) (D)2 (9)数列{an}共有11项，a1=0，a11=4，且|ak+1-ak|=1，k=1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( ) (A)100 (B)120 (C)140 (D)160 (10)设?是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转，?表示坐标平面关于y轴的镜面反射．用??表示变换的复合，先做?，再做?，用?k表示连续k次的变换，则???2??3??4是( ) (A)?4 (B)?5 (C)?2? (D)??2 (11)设数列{an}满足a1=a，a2=b，2an+2=an+1+an． (Ⅰ)设bn=an+1-an，证明：若a≠b，则{bn}是等比数列； (Ⅱ)若(a1+a2+…+an)=4，求a，b的值． (12)在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC． (Ⅰ)求k的取值范围； (Ⅱ)若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短？ (13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x-相切． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值． (14)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为Xn． (Ⅰ)求EX1； (Ⅱ)设P(Xn=a+k)=pk，求P(Xn+1=a+k)，k=0，1，…，b； (Ⅲ)证明：EXn+1=(1-)EXn+1． (15)(Ⅰ)设f(x)=xlnx，求f′(x)； (Ⅱ)设0ab，求常数C，使得取得最小值； (Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为ma,b，证明：ma,bln2． 2012年卓越联盟自主招生数学试题 2013年卓越联盟自主招生数学试题 一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的．） （1）已知是定义在实数集上的偶函数，且在上递增，则 （A） (B) (C) (D) （2）已知函数的图象经过点，且的相邻两个零点的距离为，为得到的图象，可将图象上所有点 （A）先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 (B) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 (C) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 (D) 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 （3）如图，在五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为 （A）21 (B)24 (C)30 ( D)48 (4)设函数在上存在导数，对任意的，有 ，且在上．若 ，则实数的取值范围为 （A） (B) (C) (D) 二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分