《“北约”自主招生数学试题及答案(2010-2014)》.doc

PAGE PAGE 1 2014年北约自主招生数学试题 1.圆心角为的扇形面积为,求它围成的圆锥的表面积. 1.【解】设扇形的半径为,则由,得. 于是扇形的弧长为,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1, 所以底面面积为,也所以圆锥的表面积为. 2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法. 2.【解】由题知所有分组方法有种. 3.如果的值域为,求的取值范围. 3.【解】由题意的值域包含区间,则与有交点, 故,解得或. 4.设,且,求. 4.【解】由得; ,由数学归纳法可推导得, 所以. 5.已知且都是负数,求的最值. 5.【解】由可知,, 所以,即, 令,则易知函数在上递减,所以其在上递减, 于是有最小值,无最大值. 6.已知在上是奇函数,求. 6.【解】奇函数,故. 7.证明是无理数. 7.【证明】由三角公式, 若是有理数,则为有理数,再由和可得为有理数,这与为无理数矛盾!因此,是无理数. 8.已知实系数二次函数与满足和都有双重实根,如果已知有两个不同的实根,求证没有实根. 8.【证】由题可设,其中, 则, 由有两个不同的实根,则必有异号,且, 此时, 即,所以, 故此时观察可知, 同号,且,,故恒成立,即证明没有实根. 9.是等差数列,,问:是否可以同时在中,并证明你的结论. 9.【解】不可以同时在中,下面给予证明.假设同时在中, 设,其中为公差,则 于是存在正整数,使得从而 也所以,由于21,32互质,且为整数,则有, 但,矛盾!假设错误,即证明不可以同时在中. 10.已知,且,求证:. 10.【证】(一法:数学归纳法)①当时,左边右边,不等式成立; ②假设时,不等式成立. 那么当时,则,由于这个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设, 从而,所以 其中推导上式时利用了及时的假设,故时不等式也成立. 综上①②知,不等式对任意正整数都成立. (二法)左边展开得 由平均值不等式得 故 ,即证. (三法)由平均值不等式有 ……①;……② ①+②得,即成立. 2013年北约自主招生数学试题与答案 （时间90分钟，满分120分） 以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？ A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 解析：显然，多项式的系数均为有理数，且有两根分别为和.于是知，以和为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为和，其中不全为0，则： 即方程组：，有非0有理数解. 由（1）+（3）得： （6） 由（6）+（2）得： （7） 由（6）+（4）得： （8） 由（7）（5）得：，代入（7）、（8）得：，代入（1）、（2）知：.于是知，与不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为和. 综上所述知，以和为两根的有理系数多项式的次数最小为5. 在的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400 解析：先从6行中选取3行停放红色车，有种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有种停放汽车的方法. 已知，求的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知： 由两式相减得故或 ①若则，解得.于是知或. 当时， . 当时 . （2）若，则根据条件知：，于是， 进而知. 于是知：. 综上所述知，的值为或. 数列满足，前项和为，求. A. 3019?2 2012 B. 3019?22013 C. 3018?22012 D.无法确定 解析：根据条件知：.又根据条件知：. 所以数列. 又.令， 则，所以.即. 对，两边同除以，有，即.令，则，，于是知.所以.于是知：. 5．如图，中，为边上中线，分别的角平分线，试比较与的大小关系，并说明理由. A. BM+CNMN B. MN?CN?MN C. BM+CN?MN D.无法确定 解析：如图，延长到，使得，连接.易知，所以.又因为分别为的角平分线，所以，知为线段的垂直平分线，所以.所以. 6.模长为1的复数，满足，求的模长. A. ?1/2