解析并推广2014年“北约”自主招生不等式试题.pdf

第6期 李加军，等：解析并推广2014年 “北约”自主招生不等式试题 29 · 解析并推广2014年 “北约自主招生不等式试题 ●李加军 吴盛盛 (胜利第一中学 山东东营 257027) 题 目 已知正实数 1，2，…，戈满足 12… =1，求证： ／ ( + )( + )…( + )≥( +1)． 证法1 构造数组Y=_1，则Y，Y，…，Y是正实数且Y1)，…y=1．假设命题不成立，则 ( + )( +：)…( + )( +1) 且 ( +)，。)( +Y2)…( +Y)( +1)， 于是 ( + )( + )…( + )( +y)( +Y2)…( +y)( +1) ． 由柯西不等式知 (+)(+)，i)=(+)f+1l≥(+1)， 、 l ， 于是 ( + )( +：)…( + )( +y)( + )…( + )≥( +1)h， 矛盾!因此不等式( + )( + )…( + )≥( +1)“成立． 证法2 由AM—GM不等式知 迭 ≤√卫 1√z+ √“以_-意一 (2) 式(1)--I式(2)得 1≥可 + — 一 ， √皿(¨)√卫( ) 即 l≥ ， √Ⅱ(¨ 因此 ( + )( + ：)…( + )≥ + · 证法3 (+ )( +：)…(+ )=()“+() ∑ +() ∑ +…+ () ∑ i2．o咄+…+X1一 1≤tl(t2… ( ≤ n 由平均值不等式得 ． 1 ∑ …咄≥c：( 兀 … )毒=c：[( … )=]。=c， 毫 tlt2 ‘… ‘ n 1≤ tlt2… ≤ “ 故 ( +X,1)( +：)…( +Xn)≥()+c( ) +c() +…+c：( ) +…+c：= ( +1)． · 3O · 中学教研 (数学) 证法 4 (1)当 =1时， + = +1，不等式显然成立． (2)假设当 = (k≥1)时不等式成立，即 ( + )( + )…( + )≥ ( +1)， 则当n=k+1时，因为Xl… =1，所以至少存在2个数，其中一个不大于1，另一个不小于1 ， 不妨设 ≤1，+1≥1，从而( 一1)(^+1—1)≤0，贝4戈 + +1≥1+Xk+1．由X12… 一 1 ( +1)=1以及 = k的假设知 ( + )( + )…( + )( + )≥ ( +1)， 因此 (4Y+ )( +X2)…( +戈 )( + )( + )=