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自主招生考试常用的不等式 1．柯西不等式，其中等号成立条件为。 证明：构造一元二次函数，则 等价于判别式小于等于0，即 ， 得证，且等号成立条件，。 2．四个平均的关系： 平方平均，算术平均，几何平均，调和平均。 满足关系：，其中等号成立条件为。调和平均不常用。 3．排序不等式（排序原理）： 设有两个有序数组：，，则有 （同序和） （乱序和） （逆序和） 。 其中是1,2,…,的一个排列。 4．切比雪夫不等式：若，，则有 。 附：切比雪夫不等式其实是排序不等式的应用。 5．关于凸函数的琴生不等式： （1）函数的凹凸性： 定义：设连续函数的定义域为 (a，b)，如果对于 (a，b)内任意两数x1，x2，都有 ① 则称为 (a，b)上的下凸函数． 注：①若把①式的不等号反向，则称这样的为区间 (a，b)上的上凸函数．（或凹函数） ②下凸函数的几何意义：过曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）． 常见的上凸（凹）函数， 常见的（下）凸函数， ③的二阶导数，则为下凸函数；的二阶导数，则为上凸函数。 二、凸函数有琴生不等式性质： 若在区间为下凸函数，则对， 总有； 若在区间为上凸函数，则对， 总有。 附：应用，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式 ，等号成立条件。 而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的 ，等号成立条件。 加权形式： 常用不等式： 解方程组 有小于1的正数 设 已知 求证： 例7证明：方程 例8.求证： 例9.已知正数列，对大于1的，有 例10. 若，求的最小值 例11. 用琴生不等式证明均值不等式，即：． 例12 ，且a + b + c = 3，求证：． 例13.定义在 (a，b) 上，在 (a，b) 上恒大于0，且对有 ． 一、函数的凹凸性： 定义：设连续函数的定义域为 (a，b)，如果对于 (a，b)内任意两数x1，x2，都有 ① 则称为 (a，b)上的下凸函数． 注：1．若把①式的不等号反向，则称这样的为区间 (a，b)上的上凸函数．（或凹函数） 2．下凸函数的几何意义：过曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）． 二、琴生不等式： 若是区间 (a，b) 上的凸函数，则对任意的点x1，x2，…，xn(a，b)，有 取“=”条件：x1 = x2 = … = xn 注：更一般的情形： 设是定义在区间 (a，b) 上的函数，如果对于(a，b)上任意两点x1，x2，有 （其中），则称是(a，b) 上的下凸函数．其推广形式，即加权的琴生不等式： 设，若是区间 (a，b) 上的下凸函数，则对任意的x1，x2，…，xn(a，b)有． 取“=”条件： 说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式． 证明：(1) 在上是上凸函数 (2) 在上是上凸函数 (3) 上是下凸函数 证明：(1) 对 (2) 对 即：． (3) 当时 （∵） 即：． 用琴生不等式证明均值不等式，即：． 证：∵ 设，则为上的上凸函数 由琴生不等式： 即 例3 ，且a + b + c = 3，求证：． 证明：设，则上的凹函数． 由琴生： ∴ ． 例4 定义在 (a，b) 上，在 (a，b) 上恒大于0，且对有 ． 求证：当时，有． 证明：由题：对，有，两边取常对： 则有 即 于是：令，则为(a，b) 上的凸函数 由琴生不等式：对，有 即． 1