8.自主招生专题之不等式(答案).doc

PAGE PAGE 1 8.自主招生专题之不等式 一、基础知识 2. 均值不等式： 对于个正数，有调和平均，几何平均，算术平均，平方平均 这四个平均值有以下关系：，其中等号当且仅当时成立． 3. 一般的Cauchy不等式： 设，则． （方和积≥积和方） 等号当且仅当a1，a2，…，an全为0，或存在实数λ使时取到． 变式： ．特别的，． 二、典型例题 例1.(2009年清华大学自主招生数学试题(理科))已知为实数,且,求证:对于任意正整数 都有. 例2. 例3. 例4.（2006年清华大学保送生）已知为非负数，，求的最值。 解：方法一：对称引参，可令，代入得 ， 而，容易由定义在局部区域上的二次函数的特点知 。 方法二：用基本不等式及放缩法，一方面，由得①， 同理② 于是①2结合②得，易验证当时，不等式取等号达到最小值；另一方面，由题意知，于是，则 易验证，当之一为0时取等号，则。 方法三：三角换元法，有题意知，， 于是可令，，则 由知，则。 例5. 例6.（2008年浙江大学）已知，求证： 。 例7.（2004年上海复旦）求证：． 证明1： =（ 而 ， 原式1+= 证明2：， 原式〈 例8. (2003年上海交大)证明不等式，当自然数n≥6时成立． 三、课堂练习 1.设a ?lgz+lg[x(yz)?1+1]，b ?lgx?1+lg(xyz+1)，c ?lgy+lg[(xyz)?1+1]，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为 ． 解析：a=lg( eq \f(x,y)+z)，b=lg(yz+ eq \f(1,x))，c=lg( eq \f(1,yz)+y)． ∴ a+c=lg( eq \f(1,yz)+ eq \f(1,x)+yz+x)≥2lg2．于是a、c中必有一个≥lg2．即M≥lg2，于是M的最小值≥lg2． 但取x=y=z=1，得a=b=c=lg2．即此时M=log2．于是M的最小值≤lg2．∴ 所求值=lg2． 2.为实数，满足，则 的最大值为 . . 解析：设，则 ，（当时取等号）. 3.（2005年上海交大）方程（p?R）的两根满足，则 p?_________． 4.（2008年浙江大学改编）设为正实数，，，． （Ⅰ）如果，则是否存在以为三边长的三角形？请说明理由； （Ⅱ）对任意的正实数，试探索当存在以为三边长的三角形时的取值范围． 解：（Ⅰ）存在．……2分 显然成立， 且， 由于，所以我们得到 ， 即时，存在以为三边长的三角形．……6分 （Ⅱ），若、、构成三角形，只需， 即……8分 两边除以，令，得，这里， ，……12分 由于， 所以，当且仅当时，取最小值，取最大值； 因此的取值范围为． 即的取值范围为时， 以、、为三边的三角形总存在．……15分 6.设为正数，证明： 证明：对归纳，时显然成立等号；设时结论对于任意个正数成立，当时，对于任意个正数，据假设有 …5分 所以 只要证， … eq \o\ac(○,1) 平方整理，只要证， … eq \o\ac(○,2)10分 由柯西不等式 ………15分 即 所以 即 eq \o\ac(○,2)成立，因此当时结论成立.故由归纳法知，所证不等式成立.……………20分 四、课后作业 1.设任意实数x0x1x2x30，要使log eq \s\do6(\f(x0,x1))2013+log eq \s\do6(\f(x1,x2))2013+log eq \s\do6(\f(x2,x3))2013≥k·log eq \s\do6(\f(x0,x3))2013恒成立，则k的最大值是_______. 解析：显然 eq \f(x0,x3)1，从而log eq \s\do6(\f(x0,x3))20130．即 eq \f(1,lgx0－lgx1)+ eq \f(1,lgx1－lgx2)+ eq \f(1,lgx2－lgx3)≥ eq \f(k,lgx0－lgx3)． 就是[(lgx0－lgx1)+(lgx1－lgx2)+(lgx2－lgx3)]( eq \f(1,lgx0－lgx1)+ eq \f(1,lgx1－lgx2)+ eq \f(1,lgx2－lgx3))≥k． 其中lgx0－lgx10，lgx1－lgx20，lgx2－lgx30，由Cauchy不等式，知k≤9． k的最大值为9． 2.求值：． 解析： eq \f(1,\r(k))= eq \f(2,\r(k)+\r(k)) eq \f(2,\r(k－1)+\r(k))=2( eq \r(k)－ eq \r(k－1))，同时 eq \f(1,\r(k)) eq \f(2