线性代数的大总结分析报告.doc

二阶行列式的计算 三阶行列式 定义 设有9个数排成3行3列的数表 全排列及其逆序数 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示. 显然 即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序. 例如 在排列32514中 3 2 5 1 4 思考题：还能找到其它逆序吗？答：2和1，3和1也构成逆序. 定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 计算排列的逆序数的方法 设 是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ； 再看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ; …… 最后看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ; n 阶行列式的定义 四个结论 对换 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 例如 对换与排列奇偶性的关系 定理1　对换改变排列的奇偶性. 行列式的性质 备注： 交换第 行（列）和第 行（列），记作 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ， 等于用数 乘以此行列式. 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如： 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 备注：以数 乘第 行（列）加到第 行（列）上，记作 应用举例 行列式按行(列)展开 结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示. 结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ． 定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 例 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 假设(1)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行 减去前行的 倍： 定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 综上所述，有 同理可得 例 计算行列式 克拉默法则 定理中包含着三个结论 方程组有解；（解的存在性） 解是唯一的；（解的唯一性） 解可以由公式(2)给出. 这三个结论是有联系的. 应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并讨论. 关于克拉默法则的等价命题 设 线性方程组 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组. 齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…, 0)就是一个解，称为零解. 因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解. 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解. 齐次线性方程组的相关定理 定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次 线性方程组只有零解，没有非零解. 定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零. 备注 这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件. 在第三章还将证明这个条件也是充分的. 即： 齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零 小结 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 方程个数等于未知量个数； 系数行列式不等于零 2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解 和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于 理论推导． 矩阵 矩阵的定义 由 m×n 个数 排成的 m 行 n 列的数表 称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵