线性代数公式总结2.doc

线性代数全公式 基本运算 ① ② ③ ④ ⑤或。 。 转置值不变 逆值变 ，3阶矩阵 有关乘法的基本运算 线性性质 ， 结合律 不一定成立！ ， ， 与数的乘法的不同之处 不一定成立！ 无交换律 因式分解障碍是交换性 一个矩阵的每个多项式可以因式分解，例如 无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当时或 由和 由时（无左消去律） 特别的 设可逆，则有消去律。 左消去律：。 右消去律：。 如果列满秩，则有左消去律，即 ① ② 可逆矩阵的性质 i）可逆时， 也可逆，且。 也可逆，且。 数，也可逆，。 ii），是两个阶可逆矩阵也可逆，且。 推论：设，是两个阶矩阵，则 命题：初等矩阵都可逆，且 命题：准对角矩阵 可逆每个都可逆，记 伴随矩阵的基本性质： 当可逆时， 得， （求逆矩阵的伴随矩阵法） 且得： 伴随矩阵的其他性质 ①, ② ③, ④ ⑤， ⑥。 时， 关于矩阵右上肩记号：，，，* i) 任何两个的次序可交换， 如， 等 ii) ， 但不一定成立！ 线性表示 有解 有解 有解，即可用A的列向量组表示 ，， 则。 ， 则存在矩阵，使得 线性表示关系有传递性 当， 则。 等价关系：如果与互相可表示 记作。 线性相关 ，单个向量， 相关 ，相关对应分量成比例 相关 ①向量个数=维数，则线性相（无）关 ，有非零解 如果，则一定相关 的方程个数未知数个数 ②如果无关，则它的每一个部分组都无关 ③如果无关，而相关，则 证明：设不全为0，使得 则其中，否则不全为0，，与条件无关矛盾。于是。 ④当时，表示方式唯一无关 （表示方式不唯一相关） ⑤若，并且，则一定线性相关。 证明：记，， 则存在矩阵，使得 。 有个方程，个未知数，，有非零解，。 则，即也是的非零解，从而线性相关。 各性质的逆否形式 ①如果无关，则。 ②如果有相关的部分组，则它自己一定也相关。 ③如果无关，而，则无关。 ⑤如果，无关，则。 推论：若两个无关向量组与等价，则。 极大无关组 一个线性无关部分组，若等于秩，就一定是极大无关组 ①无关 ② 另一种说法： 取的一个极大无关组 也是的极大无关组相关。 证明：相关。 ③可用唯一表示 ④ ⑤ 矩阵的秩的简单性质 行满秩： 列满秩： 阶矩阵满秩： 满秩的行（列）向量组线性无关 可逆 只有零解，唯一解。 矩阵在运算中秩的变化 初等变换保持矩阵的秩 ① ②时， ③ ④ ⑤可逆时， 弱化条件：如果列满秩