线性代数公式手册.doc

目 录 线性代数 1 (一) 行列式 1 (二)矩阵 2 (三) 向量 5 (四)线性方程组 8 (五)矩阵的特征值和特征向量 10 (六)二次型 11 线性代数 (一) 行列式 或 即 其中 (2)设为阶方阵，则 但不一定成立 (4) 但 (6)范德蒙行列式 设A是n阶方阵，是A的n个特征值，则 (二)称为矩阵，简记为则称是阶矩阵或阶方阵. 矩阵的线性运算 1矩阵的加法 设是两个矩阵，则 矩阵称为矩阵 与的和，记为 2矩阵的数乘 设是矩阵，是一个常数，则矩阵称为数与矩阵的数乘，记为. 3矩阵的乘法 设是矩阵，是矩阵，那么矩阵，其中 称为的乘 积，记为 方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵， 1三者之间的关系 但 不一定成立， ， 但不一定成立 2有关A*的结论 3)若可逆，则 4)若为阶方阵，则 3有关的结论 矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵等价，分块矩阵及其运算 1有关矩阵秩的结论 1）秩r（A）=行秩=列秩； 2） 3）； 4） 5）初等变换不改变矩阵的秩 6）特别若 则 7）若存在 若存在 若 若 8）只有零解 2分块求逆公式 ； ； ； 这里A，B均为可逆方阵 (三) 向量 线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示. (2)线性无关，，线性相关可以由惟一线性表示. (3)可以由线性表示 ） 2有关向量组的线性相关性 (1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关. (2) ① n个n维向量 n个n维向量线性相关 ② n+1个n维向量线性相关. ③若线性无关，则添加分量后仍线性无关； 或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关 向量组的极大线性无关组，等价向量组，向量组的秩 1有关向量组的线性表示 (1)线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示. (2)线性无关，，线性相关 可以由惟一线性表示. (3)可以由线性表示 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空间及相关概念 1设，则的秩与的行列向量组的线性相关性关系为： (1)若，则的行向量组线性无关. (2)若，则的行向量组线性相关. (3)若，则的列向量组线性无关. (4)若，则的列向量组线性相关 n维向量空间的基变换和坐标变换，过渡矩阵 1基变换公式及过渡矩阵 若与是向量空间的两组基，则基变换公式为 其中是可逆矩阵，称为由基到基的过渡矩阵 2坐标变换公式 若向量在基与基的坐标分别是 ，即 ，则向量坐标 变换公式为 其中是从基到基的过渡矩阵 向量的内积，线性无关向量组的正交规范化方法 内积： Schmidt正交化 若线性无关，则可构造使其两两正 交，且仅是的线性组合，再把 单位化，记，则是规范正交向量组.其中 ， ………………………………… 规范正交基，正交矩阵及其性质 1正交基及规范正交基 向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基 (四)线性方程组 考试内容 对应公式、定理、概念 线性方程组的克莱姆法则，奇次线性方程组有非零解的充分必要条件 1克莱姆法则 线性方程组，如果系数行列式，则方程组有唯一解 ，其中是把中第列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式. n阶矩阵可逆只有零解.总有唯一解，一般地， 只有零解. 非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构 1设A为矩阵，若，则对而言必有从而有解. 2设为的解，则当时仍为的解；但当时，则为的解.特别为的解；为的解. 3非齐次线性方程组无解不能由的列向量线性表示. 奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解. 1齐次方程组恒有解(必有零解).当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系. 2 是的基础解系，即 (1) 是的解； (2) 线性无关； (3) 的任一解都可以由线性表出. 是的通解，其中是任意常数. (五)矩阵的特征值和特征向量 考试内容 对应公式、定理、概念 矩阵的特征值和特征向量的概念及性质， 1设是的一个特征值，则 有一个特征值分别为 且对应特征向量相同（ 例外）. 2若为的n个特征值，则 从而没有特征值. 3设为的s个特征值，对应特征向量为 ，若 则 相似变换、相似矩阵的概念及性质