线性代数各性质定理公式总结.doc

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 注：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间. 注 √ 关于： ①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量； ②线性无关； ③； ④； ⑤任意一个维向量都可以用线性表示. 行列式的定义 √ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若都是方阵（不必同阶）,则（拉普拉斯展开式） ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④关于副对角线： （即：所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和） ⑤范德蒙德行列式： 矩阵的定义 由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或 伴随矩阵 ，为中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① 注： ② ③ √ 方阵的幂的性质： √ 设的列向量为,的列向量为， 则 ，为的解可由线性表示.即：的列向量能由的列向量线性表示，为系数矩阵. 同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵. 即： √ 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. √ 分块矩阵的转置矩阵： 分块矩阵的逆矩阵： 分块对角阵相乘：, 分块对角阵的伴随矩阵： √ 矩阵方程的解法()：设法化成 ① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动） ④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合. ⑦ 向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示. 向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示. ⑧ 维列向量组线性相关； 维列向量组线性无关. ⑨ 若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为行最简形矩阵 ? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系： 对施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘； 对施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘. 矩阵的秩 如果矩阵存在不为零的阶子式，且任意阶子式均为零，则称矩阵的秩为.记作 向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作 矩阵等价 经过有限次初等变换化为. 记作： 向量组等价 和可以相互线性表示. 记作： ? 矩阵与等价，可逆作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵与作为向量组等价 矩阵与等价. ? 向量组可由向量组线性表示有解≤. ? 向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关. 向量组线性无关,且可由线性表示,则≤. ? 向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价； ? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ? 设是矩阵,若，的行向量线性无关； 若，的列向量线性无关,即：线性无关. √ 矩阵的秩的性质： ①≥ ≤≤ ② ③ ④ ⑤≤ ⑥ 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩. ⑦若； 若 ⑧等价标准型. ⑨≤ ≤≤ ⑩ 注： 线性方程组的矩