线性代数总结报告归纳,考试专用.doc
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《线性代数》复习提纲
第一部分：基本要求（计算方面）
四阶行列式的计算；
N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；
矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；
求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；
含参数的线性方程组解的情况的讨论；
齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；
讨论一个向量能否用和向量组线性表示；
讨论或证明向量组的相关性；
求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；
将无关组正交化、单位化；
求方阵的特征值和特征向量；
讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；
通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；
写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；
判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识
一、行列式
1．行列式的定义
用n个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；
（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；
2．行列式的计算
一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；
N阶（ngt;=3）行列式的计算：降阶法
定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况
上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；
（2）行列式值为0的几种情况：
Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0；
Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；
Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例；
Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵
1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；
2．矩阵的运算
（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；
（2）关于乘法的几个结论：
①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；
②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；
③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；
④|kA|=k|A|
3．矩阵的秩
（1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；
（2）秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论：
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
4．逆矩阵
（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；
（2）性质： (AB) 1=(B 1)*(A 1)，(A’) 1=(A 1)’；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）
（3）可逆的条件：
① |A|≠0； ②r(A)=n; ③A-gt;I;
（4）逆的求解
伴随矩阵法 A 1=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵~)
②初等变换法（A:I）-gt;(施行初等变换)（I:A 1）
5．用逆矩阵求解矩阵方程：
AX=B，则X=（A 1）B；
XB=A，则X=B(A 1)；
AXB=C，则X=(A 1)C(B 1)
三、线性方程组
1．线性方程组解的判定
定理：
(1) r(A,b)≠r(A) 无解；
(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；
(3)r(A,b)=r(A)lt;n 有无穷多组解；
特别地：对齐次线性方程组AX=0
(1) r(A)=n 只有零解；
(2) r(A)lt;n 有非零解；
再特别，若为方阵，
(1)|A|≠0 只有零解
(2)|A|=0 有非零解
2．齐次线性方程组
（1）解的情况：
r(A)=n，（或系数行列式D≠0）只有零解；
r(A)lt;n，（或系数行列式D＝0）有无穷多组非零解。
（2）解的结构：
X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。
（3）求解的方法和步骤：
①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；
②写出对应同解方程组；
③移项，利用自由未知数表示所有未知数；
④表示出基础解系；
⑤写出通解。
3．非齐次线性方程组
（1）解的情况：
利用判定定理。
（2）解的结构：
X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。
（3）无穷多组解的求解方法和步骤：
与齐次线性方程组相同。
（4）唯一解的解法：
有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。
四、向量组
1．
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