应用数值分析（第四版）课后习题答案第9章.doc

第九章习题解答 1.已知矩阵 试用格希哥林圆盘确定A的特征值的界。 解： 2.设是矩阵A属于特征值的特征向量，若， 试证明特征值的估计式. 解： 由 得 3.用幂法求矩阵 的强特征值和特征向量，迭代初值取。 解：y=[1,1,1];z=y;d=0; A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1]; for k=1:100 y=A*z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)0,c=-c;end z=y/c if abs(c-d)0.0001,break; end d=c end 强特征值为11，特征向量为。 4.用反幂法求矩阵 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取 。 解：y=[1,1,1];z=y;d=0; A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1]; for k=1:100 AA=A-6*eye(3); y=AA\z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)0,c=-c;end z=y/c; if abs(c-d)0.0001,break; end d=c end d=6+1/c 最接近6的特征值为6+1/c=7.2880，特征向量为。 5.设非奇异，A的正交分解为A=QR，作逆序相乘A1=RQ，试证明 若A对称则A1也对称； 若A是上Hessenberg阵，则A1也是上Hessenberg阵。 证明：（1）， 对称 （2）A是上Hessenberg阵，用Givens变换对A作正交分解，即 显然A1也是上Hessenberg阵。 6.设矩阵 （1）任取一非零向量作初始向量用幂法作迭代，求A的强特征值和特征向量； （2）用QR算法作一次迭代，求A的特征值； （3）用代数方法求出A的特征值和特征向量，将结果与（1）和（2）的结果比较。 解：（1） A的强特征值为2.6181，特征向量为 （2）for i=1:10 [Q,R]=qr(A); A=R*Q end A的特征值为2.6180，0.3820 （3），特征值 特征向量 7. 设矩阵 （1）用Householder变换化A为对称三对角阵。 （2）用平面旋转阵对进行一步QR迭代计算出。 解：（1） (2) 8. 用带位移的QR方法计算下列矩阵的全部特征值。 解：（1）for k=1:20 p=A(3,3); AA=A-p*eye(3); [Q,R]=qr(AA); A=R*Q+p*eye(3) end 全部特征值为 4 , 1 , 3 (2) 全部特征值为 3.7321, 2.0, 0.2679 9. 设，且已知其强特征值和对应的特征向量， （1）证明：若构造Householder阵H使（常数），则必有 其中，且A的其余n-1个特征值就是的特征值。 （2）以为例，已知，用以上方法构造H阵，并求出A的第二个特征值。 解：（1）构造Householder阵H使 即HAH的第一列为, （2） A的第二个特征值为 -3。 10.对以下的实对称阵用QR方法求其全部特征值。 解：（1） 全部特征值为 5.3465, 2.722, -0.0687 （2） 全部特征值为 6, 3, 1