教师版第一章第三讲方程理论.doc
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教师版第一章第 一元二次方程
3.1 根的判别式
我们知道,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),用配方法可以将其变形为
.
因为a≠0,所以,4a2>0.于是
(1)当b2-4ac>0时,方程的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根
x1,2=;
(2)当b2-4ac=0时,方程的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根
x1=x2=-;
(3)当b2-4ac<0时,方程的右端是一个负数,而方程的左边一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根.
由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示.
综上所述,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有
当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根
x1,2=;
(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根
x1=x2=-;
(3)当Δ<0时,方程没有实数根.
1 判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根.
(1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0;
(3) x2-ax+(a-1)=0; (4)x2-2x+a=0.
解:(1)Δ=32-4×1×3=-3<0,方程没有实数根.
(2)该方程的根的判别式Δ=a2-4×1×(-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根
, .
(3)由于该方程的根的判别式为
Δ=a2-4×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2,
所以,
当a=2时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根
x1=x2=1;
当a≠2时,Δ>0, 所以方程有两个不相等的实数根
x1=1,x2=a-1.
(3)由于该方程的根的判别式为
Δ=22-4×1×a=4-4a=4(1-a),
所以
当Δ>0,即4(1-a) >0,即a<1时,方程有两个不相等的实数根
, ;
当Δ=0,即a=1时,方程有两个相等的实数根
x1=x2=1;
当Δ<0,即a>1时,方程没有实数根.
说明:在第3,4小题中,方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化,于是,在解题过程中,需要对a的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.没有实数根,试判断关于x的方程的根的情况.
解:∵ 方程没有实数根,
∴
∴
对于方程.
当m=5时,方程有一个实数根;
当m≠5时,.
∵ ∴ .
∴,方程有两个不相等的实数根.
综上,当m=5时,方程有一个实数根;
当且m≠5时,此方程有两个不相等的实数根.
题3. 已知,求证:
关于的一元二次方程有两个相等实数根.
证明:∵且
∴
∴原方程有两个相等实数根.
练习:
1一元二次方程2kx2+(8k+1)x+8k=0有两个实数根,确定k的取值范围.
解:由题意得:解得,即,所以当 原方程有两个实数根.
2.求证:如果关于x的方程 没有实数根,那么,关于y的方程 一定有两个不相等的实数根.
分析:由已知,可根据一元二次方程的根的判别式证之.
证明? 设方程 即 的根的判别式为 ,方程 的根的判别式为 ,则
∵方程 无实数根,
,即 ,解得:
当 时,
,即 .
故方程 有两个不相等的实数根.
3.已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根.
求证:(1)方程 有两个不相等的实数根;
(2)设方程 的两个实数根为 ,若 ,则 .
分析:运用根的判别式证之.
证明? ∵方程 有两个相等的实数根,
整理,得 .
(1)方程 的判别式
.
∴方程 有两个不相等的实数根.
(2)解方程 ,得
说明:对于(2),也可以利用下节的根与系数关系证明.
4 证明:不论,,为任何实数,关于的方程都有实数根.
证明:∵
∴不论,,为任何实数,原方程都有实数根.
3.2 根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
,,
则有
;
.
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x1+x2=,x1·x2=.
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