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教师版第一章第三讲方程理论.doc

发布:2016-12-29约字共12页下载文档
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教师版第一章第 一元二次方程 3.1 根的判别式 我们知道,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),用配方法可以将其变形为 . 因为a≠0,所以,4a2>0.于是 (1)当b2-4ac>0时,方程的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根 x1,2=; (2)当b2-4ac=0时,方程的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根 x1=x2=-; (3)当b2-4ac<0时,方程的右端是一个负数,而方程的左边一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根. 由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示. 综上所述,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根 x1,2=; (2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=-; (3)当Δ<0时,方程没有实数根. 1 判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根. (1)x2-3x+3=0; (2)x2-ax-1=0; (3) x2-ax+(a-1)=0; (4)x2-2x+a=0. 解:(1)Δ=32-4×1×3=-3<0,方程没有实数根. (2)该方程的根的判别式Δ=a2-4×1×(-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根 , . (3)由于该方程的根的判别式为 Δ=a2-4×1×(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2, 所以, 当a=2时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; 当a≠2时,Δ>0, 所以方程有两个不相等的实数根 x1=1,x2=a-1. (3)由于该方程的根的判别式为 Δ=22-4×1×a=4-4a=4(1-a), 所以 当Δ>0,即4(1-a) >0,即a<1时,方程有两个不相等的实数根 , ; 当Δ=0,即a=1时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; 当Δ<0,即a>1时,方程没有实数根. 说明:在第3,4小题中,方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化,于是,在解题过程中,需要对a的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.没有实数根,试判断关于x的方程的根的情况. 解:∵ 方程没有实数根, ∴ ∴ 对于方程. 当m=5时,方程有一个实数根; 当m≠5时,. ∵  ∴ . ∴,方程有两个不相等的实数根. 综上,当m=5时,方程有一个实数根;    当且m≠5时,此方程有两个不相等的实数根. 题3. 已知,求证: 关于的一元二次方程有两个相等实数根. 证明:∵且 ∴ ∴原方程有两个相等实数根. 练习: 1一元二次方程2kx2+(8k+1)x+8k=0有两个实数根,确定k的取值范围. 解:由题意得:解得,即,所以当 原方程有两个实数根. 2.求证:如果关于x的方程 没有实数根,那么,关于y的方程 一定有两个不相等的实数根.   分析:由已知,可根据一元二次方程的根的判别式证之.   证明? 设方程 即 的根的判别式为 ,方程 的根的判别式为 ,则      ∵方程 无实数根,    ,即 ,解得:   当 时,    ,即 .   故方程 有两个不相等的实数根. 3.已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根.   求证:(1)方程 有两个不相等的实数根;   (2)设方程 的两个实数根为 ,若 ,则 .   分析:运用根的判别式证之.   证明? ∵方程 有两个相等的实数根,      整理,得 .   (1)方程 的判别式    .      ∴方程 有两个不相等的实数根.   (2)解方程 ,得         说明:对于(2),也可以利用下节的根与系数关系证明. 4 证明:不论,,为任何实数,关于的方程都有实数根. 证明:∵ ∴不论,,为任何实数,原方程都有实数根. 3.2 根与系数的关系(韦达定理) 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根 ,, 则有 ; . 所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x1+x2=,x1·x2=.
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